Экзаменационный билет №1

1. Сформулировать свойства определённого интеграла. Доказать свойство аддитивности определённого интеграла.

1. Свойства линейности

а) суперпозиции ,

б) однородности

Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)

2. Свойство аддитивности (по множеству)

Доказательство. Пусть . Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения . Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму . Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при левой части равенства интегральных сумм равен , первого слагаемого правой части , второго слагаемого правой части .

3. (свойство «ориентируемости» множества).

Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет

- . Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим .

4. . Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.

5. .

.

6. Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

7. Содержание

   • Экзаменационный билет №1
   • Если на отрезке , то .
   • Рассмотрим случай, когда все собственные значения линейного оператора с матрицей (или все характеристические числа матрицы , что одно и то же) действительны и различны.
   • Экзаменационный билет №2
   • Экзаменационный билет №3
   • Теорема об оценке определенного интеграла.
   • Экзаменационный билет №4
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
   • Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
   • Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений, их применение и нахождение.
   • Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.(...Н е т...)
   • Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.
   • Линейное уравнение.
   • Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
   • Доказать теоремы о свойствах частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
   • Теорема о наложении частных решений.
   • Метод подбора формы частного решения.
   • Пусть правая часть представляет собой квазиполином .
   • Линейная зависимость и независимость.
   • Определитель Вронского.
   • 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Линейная зависимость и независимость.
   • Определитель Вронского.
   • 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
   • Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.