Пусть правая часть представляет собой квазиполином .
Ищем частное решение в виде . Здесь - полином n-ой степени, - полином, степень которого надо определить.
, .
а) Если - не корень характеристического уравнения, то , и многочлен надо выбирать той же степени, что и , т.е. степени n.
б) Если - простой корень характеристического уравнения, то . В этом случае многочлен надо выбирать той же степени, что и , т.е. степени n. Тогда степень многочлена надо выбирать равной n+1. Однако при дифференцировании производная свободного члена (постоянной) равна нулю, поэтому можно выбирать в виде =.
в) Если - кратный корень характеристического уравнения, то . В этом случае многочлен надо выбирать той же степени, что и , т.е. степени n. Тогда степень многочлена надо выбирать равной n+2. Однако при двукратном дифференцировании производная не только свободного члена равна нулю, но и производная линейного члена равна нулю. Поэтому можно выбирать в виде =.
Пример.
,
, - не корень характеристического уравнения, поэтому частное решение надо искать в том же виде, что и правая часть, . Подставляем в неоднородное уравнение с правой частью .
.
.Корень содержится один раз среди корней характеристического уравнения, поэтому частное решение ищется в виде .
Подставляем в неоднородное уравнение с правой частью .
.
Суммируя оба частных решения, получаем частное решение неоднородного уравнения для исходной правой части:
.
Общее решение неоднородного уравнения будет
.
2) Правая часть имеет вид
-
Если не корни характеристического уравнения, то частное решение ищется в том виде, в котором задана правая часть:
,
где - полиномы степени m – максимальной из степеней полиномов .
б) Если - пара корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде
,
Пример.
Пара корней = - пара корней характеристического уравнения.
Подставляем в неоднородное уравнение, получаем
, откуда
,
Рассмотрим неоднородное уравнение n-го порядка, покажем, как в нем применять метод подбора формы частного решения.
Здесь ситуация сложнее, так как в характеристическом уравнении n корней, действительные корни и комплексно сопряженные, простые и кратные корни.
-
Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид
-
Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и правая часть .
-
Если - корень характеристического уравнения r-ой кратности, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде .
-
Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид
а) Если пара комплексно сопряженных корней не является корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и правая часть
, где степень m многочленов – максимальная из степеней многочленов .
-
Если пара комплексно сопряженных корней является корнями характеристического уравнения r-ой кратности, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде
.
Пример.
,
.
. содержится в корнях характеристического уравнения 2 раза, поэтому . Подставляя это частное решение в неоднородное уравнение с правой частью , получим
. Корни не содержатся в корнях характеристического уравнения, поэтому . Подставляя это частное решение в неоднородное уравнение с правой частью , получим .
..
+.
Пример.
.
содержится в корнях характеристического уравнения 3 раза, поэтому .
. Корни (пара корней) содержатся в корнях характеристического уравнения один раз, поэтому . Неопределенные коэффициенты определяются, как и выше, подстановкой в уравнение и сравнением коэффициентов при одинаковых степенях x, при sinx, cosx, xsinx, xcosx.
-
14
-
Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на конечном промежутке интегрирования. Сформулировать признаки сходимости таких интегралов.
-
-
Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка при одном известном частном решении.
Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка.
. Здесь формулу Остроградского – Лиувилля можно вывести проще. Рассмотрим - два частных решения
. , . Умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем первое уравнение из второго.
.
Так как , то = .
Теперь уравнение можно переписать в виде . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулу Остроградского – Лиувилля
Формула для построения второго частного решения по известному
(построение фундаментальной системы).
.
Разделим обе части уравнения на
.
Отсюда . Нам надо найти частное решение, поэтому выберем С=1, C 1=0, получим .
-
15
-
Доказать теорему об оценке определённого интеграла.
-
Пусть на отрезке и функция интегрируема на отрезке. Тогда
Доказательство. Интегрируя по свойству 7 неравенство , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.
Теорема об оценке полезна, когда интеграл вычислить трудно или вообще невозможно, но приблизительно оценить его необходимо. Это часто встречается в инженерной практике.
Пример. . Такой интеграл «не берется». Но на отрезке . Поэтому, учитывая четность подинтегральной функции, получим . Конечно, это – очень грубая оценка, более точную оценку можно получить, применяя методы численного интегрирования.
-
Определения линейной зависимости и линейной независимости системы функций. Определитель Вронского. Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
- Экзаменационный билет №1
- Если на отрезке , то .
- Рассмотрим случай, когда все собственные значения линейного оператора с матрицей (или все характеристические числа матрицы , что одно и то же) действительны и различны.
- Экзаменационный билет №2
- Экзаменационный билет №3
- Теорема об оценке определенного интеграла.
- Экзаменационный билет №4
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
- Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
- Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений, их применение и нахождение.
- Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.(...Н е т...)
- Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.
- Линейное уравнение.
- Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
- Доказать теоремы о свойствах частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
- Теорема о наложении частных решений.
- Метод подбора формы частного решения.
- Пусть правая часть представляет собой квазиполином .
- Линейная зависимость и независимость.
- Определитель Вронского.
- 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Линейная зависимость и независимость.
- Определитель Вронского.
- 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
- Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.