Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

.

9. (переменная интегрирования – «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)

Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.

2. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (случай действительных различных корней).

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде

, где , (векторная форма записи)

или

(покоординатная форма записи).

Будем искать решение системы в виде .

Подставляя в уравнение системы, получаем

.

Получено уравнение для определения соответствующего собственному значению собственного вектора линейного оператора с матрицей . Система уравнений

или

имеет ненулевое решение только, когда определитель системы равен нулю, т.е.

.

Это – характеристическое уравнение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В развернутом виде его можно записать так:

.

Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение - го порядка относительно . Из основной теоремы высшей алгебры известно, что оно имеет ровно корней. Часть корней может быть действительными корнями, часть - комплексными, но комплексные корни встречаются только парами комплексно-сопряженных корней. Это следует из действительности коэффициентов характеристического уравнения и теорем Виета.

1. Содержание

   • Экзаменационный билет №1
   • Если на отрезке , то .
   • Рассмотрим случай, когда все собственные значения линейного оператора с матрицей (или все характеристические числа матрицы , что одно и то же) действительны и различны.
   • Экзаменационный билет №2
   • Экзаменационный билет №3
   • Теорема об оценке определенного интеграла.
   • Экзаменационный билет №4
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
   • Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
   • Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений, их применение и нахождение.
   • Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.(...Н е т...)
   • Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.
   • Линейное уравнение.
   • Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
   • Доказать теоремы о свойствах частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
   • Теорема о наложении частных решений.
   • Метод подбора формы частного решения.
   • Пусть правая часть представляет собой квазиполином .
   • Линейная зависимость и независимость.
   • Определитель Вронского.
   • 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Линейная зависимость и независимость.
   • Определитель Вронского.
   • 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
   • Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.