Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует , что (или ).

Геометрически, смысл этого соотношения состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой .

Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своей верхней и нижней грани. По теореме об оценке , откуда, деля на , получим

. По второй теореме Больцано – Коши функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем все промежуточные значения между m и M. В частности, существует и такая точка , в которой функция принимает свое промежуточное значение , т.е.

2. Содержание

   • Экзаменационный билет №1
   • Если на отрезке , то .
   • Рассмотрим случай, когда все собственные значения линейного оператора с матрицей (или все характеристические числа матрицы , что одно и то же) действительны и различны.
   • Экзаменационный билет №2
   • Экзаменационный билет №3
   • Теорема об оценке определенного интеграла.
   • Экзаменационный билет №4
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
   • Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
   • Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений, их применение и нахождение.
   • Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.(...Н е т...)
   • Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.
   • Линейное уравнение.
   • Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
   • Доказать теоремы о свойствах частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
   • Теорема о наложении частных решений.
   • Метод подбора формы частного решения.
   • Пусть правая часть представляет собой квазиполином .
   • Линейная зависимость и независимость.
   • Определитель Вронского.
   • 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
   • 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
   • Линейная зависимость и независимость.
   • Определитель Вронского.
   • 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
   • Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.