Уравнения и неравенства

Математический язык – это искусственный язык, который создан человеком и развивается вместе с математикой. В него входят: цифры, знаки операций, знаки отношений, буквы латинского алфавита, технические знаки. Используя этот алфавит, в алгебре образуют выражения.

Числовое выражение. Каждое число есть числовое выражение. Если f и g – числовые выражения, то f+g, f–g, f·g, f:g – тоже числовые выражения.

Значение числового выражения. Если выполнить все действия, указанные в числовом выражении, то получим число, называемое значением числового выражения.

Равные числовые выражения. Если значения числовых выражений равны, то эти числовые выражения называют равными.

Числовым равенством называют высказывания вида а=в, где а и в – числовые выражения.

Свойства истинных числовых равенств:

1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл, то получим истинное числовое равенство.

2. Если обе части истинного числового равенства умножить или разделить на одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл (для деления не должно быть равно 0), то получим истинное числовое равенство.

Числовыми неравенствами называют высказывания вида а<в, а>в, где а и в – числовые выражения.

Свойства истинных числовых неравенств:

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл, то получим истинное числовое неравенство.

2. Если обе части истинного числового неравенства умножить или разделить на одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим истинное числовое неравенство того же знака.

3. Если обе части истинного числового неравенства умножить или разделить на одно и то же число или числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а так же поменять знак неравенства, то получим истинное числовое неравенство.

Область определения выражения с переменной. Пусть на множестве Х задано выражение f(x). Областью определения f(x) называется множество тех значений из множества Х, при которых выражение f(x) имеет смысл, т.е. имеет конкретное числовое значение.

Тождественно равные выражения. Выражения f(x) и g(x) называются тождественно равными на множестве Х, если выполнены 2 условия:

1. Области определения этих выражений равны на множестве Х

2. При любых значениях переменной из области определения этих выражений их соответствующие значения равны.

Тождество. Если соединить знаком равенства два тождественно равных выражения на множестве Х, то получим тождество на множестве Х. (Или – тождество – это равенство, которое верно при любых значениях входящих в него букв).

Тождественным преобразованием выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

Уравнение с одной переменной. Пусть на множестве Х даны выражения f(x) и g(x). Одноместный предикат вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной, если поставлена задача: найти все значения переменной из множества Х, каждое из которых обращает предикат в истинное высказывание. Такое значение переменной называется корнем уравнения.

Решить уравнение - значит найти множество его корней

Равносильные уравнения. Два уравнения называют равносильными на множестве Х, если множества их корней из множества Х совпадают (или равны), т.е каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот. Если уравнения не имеют корней на множестве Х , то их также считают равносильными на Х.

Теоремы о равносильных уравнениях.

Теорема 1.

Пусть на множестве Х дано уравнение f(x)=g(x). Если к обеим частям этого уравнения прибавить выражение р(х), определенное на множестве Х, то получим уравнение f(x) + p(x)= g(x) + p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие 2. Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Теорема 2.

Пусть на множестве Х дано уравнение f(x)=g(x). Если обе части этого уравнения умножить на выражение р(х), определенное на множестве Х и не обращающееся в 0 на нем, то получим уравнение

f(x)p(x)=g(x)p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие. Если обе части уравнения умножить ( разделить ) на одно и то же число, не равное 0, то получим уравнение, равносильное данному.

Неравенство с одной переменной. Пусть на множестве Х даны выражения f(x) и g(x). Одноместный предикат вида f(x) g(x) называется неравенством с одной переменной. Значение переменной из множества Х, которое обращает предикат в истинное неравенство, называется решением неравенства.

Задачи относительно неравенств с переменной:

1 задача: решить неравенство, т.е найти все значения переменной из множества Х , каждое из которых обращает его в истинное высказывание;

2 задача: доказать неравенство, т.е. доказать, что любое значение переменной из множества Х обращает его в истинное высказывание.

Виды неравенств :строгие, нестрогие, одного смысла, противоположного смысла.

Равносильные неравенства. Два неравенства называют равносильными на множестве Х, если множества их решений из множества Х совпадают, т.е каждое решение первого неравенства является решение второго неравенства и наоборот. Если неравенства не имеют решений на множестве Х, то их тоже считают равносильными на множестве Х.

Теоремы о равносильных неравенствах.

Теорема 1.

Пусть на множестве Х задано неравенство f(x) g(x). Если к обеим частям этого неравенства прибавить выражение р(х), определенное на множестве Х, то получим неравенство f(x)+ p(x) g(x)+ p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получим неравенство, равносильное данному.

Следствие 2. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Теорема 2.

Пусть на множестве Х задано неравенство f(x) g(x). Если обе части этого неравенства умножить на выражение р (х), определенное на Х и принимающее на Х только положительные значения, то получим неравенство того же смысла f(x) p(x) g(x) p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие. Если обе части неравенства умножить ( разделить ) на одно и то же положительное число, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному.

Теорема 3.

Пусть на множестве Х задано неравенство f(x) g(x). Если обе части этого неравенства умножить на выражение р(х), определенное на Х и принимающее на нем только отрицательные значения, то получим неравенство противоположного смысла f(x) p(x) g(x) p(x), равносильное данному на множестве Х.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (разделить) на отрицательное число, то получим неравенство противоположного смысла, равносильное данному.