logo search
Shpory_-_Vsyo (1)

25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение

ЛОДУ с постоянными коэффициентами

у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0, где все Pi (i= )= const

будем искать частное решение y=ekx , к – неизвестная постоянная

y’=kekx

y’’=k2ekx

……

y(n)=k(n) ekx

k(n) ekx + P1k(n-1) ekx + … + Pnekx = ekx(k(n) + P1k(n-1) + … + Pn) = 0

ekx 0 => k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0, (1)

(1) – характеристическое уравнение для ЛОДу с постоянными коэффициентами, выражения слева характеристический многочлен.

Решением характеристич уравнения (1) дает систему частных решений ЛОДу, структура ФСР зависит от вида корней характер уравнения.

(1) – алгебраическое уравнение n-ой степени, может иметь не более, чем n корней, обознач-м эти корни характеристического уравнения через k1 ,k2 …kn

Возможны случай

1)все корни хар-го уранения вещественны и различны

2)все корни различны, но среди них есть комплексные

3)среди действительных корней имеются кратные

4)среди комплексных корней есть кратные

Общий алгоритм решения ЛОДу с постоянным коэффициентом

1) составим характер уравнение : y=ekx , k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0

2) найти корни характер уравнения k1 ,k2 …kn

3) по характеру корней находим частное линейно-независимое решение по таблице 1

4) подставляем частное решение на основе Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и получаем общее решение y =

Вид корня

Соответственное решение

1

Действ корень кратности 1

ekx

2

Пара корней a bi;кратнос 1

eаxcosbx , eаxsinbx

3

Действит корень кратност α

ekx, хekx, х2ekx, х3ekx,…, хα-1ekx

4

Пара сопряж корней α a bi

eаxcosbx , eаxsinbx

хeаxcosbx , хeаxsinbx

х2eаxcosbx , х2eаxsinbx

хα-1eаxcosbx , хα-1eаxsinbx