4. Функция распределения случайной величины, функция

распределения дискретной случайной величины.

Начнём с того, что ряд распределения закона случайной величины (таблица) может быть построен только для дискретных случайных величин, а для непрерывных случайных величин, этого сделать невозможно, более того, невозможно даже перечислить все ее возможные значения. К тому же, как увидим далее вероятность каждого отдельно взятого значения н.с.в. равна нулю!Представим себе вероятность того, что рост человека – н.с.в. равнаметров; купленная нами батарея - н.с.в. проработает ровно 1000 часов; и т.д.

Интереснейший факт:событие возможное, имеет нулевую вероятность.

В целях лучшего понимания поведения н.с.в. целесообразно использовать вероятность события , но негденекоторое действительное число, расположенное на числовой оси. С точки зрения практики, как правило, нас мало интересует событие, состоящее, например, в том, что батарея проработает ровно 1000 часов, т.е.часов. Скорее всего, более важным является событие вида(или). Такое событие имеет ненулевую вероятность: при изменении правого конца интервалавероятность событие в общем случае будет меняться (может оставаться неизменным). Следовательно, вероятностьявляется функцией величины.

Наиболее общим способом задания закона распределения вероятностей, считается приемлемым, как для д.с.в., так и для н.с.в., является задания её функция распределения в виде некоторой числовой функции, обозначаемая (или просто, без индекса, если из текста ясно, о какой с.в. идёт речь).

Функцией распределения с.в.называется функция , которая для любогоравна вероятности событияДругими словами, по определению

(1) , т.е..

Функцию называется такжеинтегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (1) удобно истолковать в следующем виде: - есть вероятность того, что с.в.примет значение, которое изображается на числовой оси точками, лежащие левее точки () координата которой является число, т.е. случайное значение с.в попадает в интервал, а соответствующие значения откладывается на оси ординаты.

Рис.18. Письменный

Отметим основные свойства функции распределения .

С.1. ограничена,

С.2. неубывающая функция на множестве, т.е. еслито.

С.3. Справедливы равенства:и

С.4. Вероятность попадание значения с.в. в промежуткеравна приращению её функции распределения на этом промежутке, т.е. имеет место формула

(2) .

С.5. Функция непрерывна слева, т.е., т.е. функция распределения д.с.в.есть разрывная, со скачкамив точках«непрерывная слева» (т.е. при подходе к точке разрыва слева функция сохраняет своё значение), т.е. график функции распределения д.с.в.имеет ступенчатый вид (см. ниже рис. 20).

Проверка свойства.

Первое свойство легко следует из определения функции распределения из равенства (1). Второе свойство следует из того, что при увеличении правого конца отрезки вероятность с.в.либо не меняется, либо может только увеличиться. Третье свойство вытекает из того, что множество, а множество . Следовательно,.

Поскольку , то событие(это хорошо видно нарис 19),

Рисунок 19. Письменный.

Поскольку, слагаемые в правой части суммы событий – несовместные, то по теореме сложения вероятностей получим:. Отсюда следует равенство (2)

.

С.5. иллюстрируем на следующем примере:

Пример 7. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные шары чёрные. Из нее вынимают на удачу 3 шара.

1.Найти закон распределения числа белых шаров.

2.Найти функцию распределения

3.Построить график функции .

Решение. Возможные значения с.в -числа белых шаров в выборке будут:Соответствующие их вероятности будут

1.Закон распределения запишем в виде таблицы.

Контроль - .

2.Зададим различные значенияи находим ( с учетом таблицы):

а)

б)

б)

г)

д)

Таким образом, функция распределения с.в.будет ступенчатой функцией вида:

(3)

Наконец, построим график функции .

Рисунок 20 , Письменный.

Таким образом, всякая функция , обладающая свойствами1-3 и 5, может быть функцией распределения некоторой дискретной случайной величины.

Следует отметить, что формула (2) (свойство С.4.) справедлива так же и для н.с.в.

С помощью функции распределения с.в. вычисляется вероятность противоположного события: Именно, справедлива формула:

(4)

Для функции распределения д.с.в. всегда справедлива формула

(5) ,

где суммирование ведется по таким, для которыхРавенство (5) непосредственно выводится из формулы (1). Пользуясь этой формулой для функции распределения нашего примера можно было сразу написать равенства по значениям из таблицы:

(6)

Задание.

1. Найти по таблице заданной д.с.в.

Явный вид функции распределения и построить её график.

2. По таблице заданной д.c. в.

найти явный вид функции распределения и построить её график.

Далее рассмотрим определение непрерывной случайной величины, в соответствии её заданной функции распределения.

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, за исключением, может быть отдельных точек.

На основании свойство С.4. покажем, что «вероятность, того, что н.с.в.примет заранее указанное определённое значениеравна нулю».

Действительно, применим формулу (2) к промежутку : имеет место равенствоДалее, будем неограниченно приближать точкук ,и с учетом непрерывностив точке ,получим:Следовательно,. Если функция всюду непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с.в. равна нулю.

Таким образом, для каждой н.с.в. справедливы равенства:

Действительно, покажем справедливости первой части нашего равенства. Имеем

.Аналогично проверяется остальные равенства.