5709  Mmmmmdссiiiiiiiii,

5709 = МММММDCCIX (= 51000+500+ +2100 +(10–1)).

Разница между этими системами записи чисел заключается в том, что в первой значение каждой цифры изменяется в зависимости от её позиции – она может обозначать количество единиц, количество десятков, сотен, тысяч, и.т.д., – а во второй цифра сохраняет своё значение независимо от позиции. Системы записи первого типа называются позиционными системами счисления, а системы второго типа – непозиционными.

Как будет доказано ниже, каждое натуральное число можно однозначно разложить не только по степеням числа 10, но и по степеням любого наперёд заданного натурального числа q > 1. Этим оправдано следующее определение: говорят, что натуральное число k записано в виде систематического числа ()_q в позиционной q-чной системе счисления (скобки и черта в конкретных случаях не ставятся), если

k = a_nqⁿ + a_n–1q^n–1 + … + a₁q + a₀ ,

где числа a_i удовлетворяют условиям 0  a_i < q (0  i  n – 1), a_n > 0 и называются цифрами числа n в рассматриваемой q-чной системе счисления. Если q > 10, то для обозначения цифр, больших 9, используют круглые скобки или последовательные начальные буквы латинского алфавита: например, (10) или A обозначает цифру 10, (11) или B – цифру 11, (12) или С – цифру 12, а (17) или H – обозначает цифру 17.

Примеры: 1. 123₁₀ = 173₈ = 7B₁₆ = 1111011₂ , т.к.

123₁₀ = 110² + 210 + 3 = 18² + 78 + 3 =

= 716 + 11 = 12⁶ + 12⁵ + 12⁴ + 12³ + 02² + 12 + 1.

2. 5709₁₀ = 13115₈ = 164(13)₁₆ = 164D₁₆ = 1011001001101₂ = 10₅₇₀₉ .

Теорема (о q-чных позиционных системах счисления). Любое натуральное число обладает единственным представлением в виде систематического числа в позиционной системе счисления с произвольным натуральным основанием q > 1.

Доказательство. Необходимо доказать, что для любого натурального числа k найдутся однозначно определённые цифры a₀ , … , a_n (0  a_i < q , 0  i  n – 1, a_n > 0) со свойством k = a_nqⁿ + a_n–1q^n–1 + … + a₁q + a₀ .

Ясно, что k = (a_nq^n–1 + a_n–1q^n–2 + … + a₁)q + a₀ и 0  a₀ < q, т.е. a₀ – остаток от деления числа k на q, а a_nq^n–1 + a_n–1q^n–2 + … + a₁ = k₀ – частное, которые определены однозначно.

Аналогично имеем: k₀ = (a_nq^n–2 + a_n–1q^n–3 + … + a₂)q + a₁ = k₁q+a₁ и q-чная цифра a₁ – это остаток от деления числа k₀ на q. Продолжая этот процесс, находим:

При этом обязательно найдётся такое n  N₀ , что k_n–1 < q: действительно, если k_i  q , то, по построению, k > k₀ > k₁ > … – бесконечная убывающая цепочка натуральных чисел, что невозможно. Итак, эти формулы однозначно определяют q-чные цифры a₀ , … , a_n числа k.

Теорема доказана.

Позиционные системы счисления с основаниями, не равными 10, широко используются в различных областях человеческой деятельности. В частности, в информатике для представления чисел в ЭВМ применяется двоичная система счисления, а для визуализации дво­ичных чисел часто применяются более экономные 8-ричная и 16-ричная системы счисления.

Обилие систем счисления с различными основаниями требует умения переводить числа из одной системы счисления в другую.