logo
Интегрирование иррациональных функций

1. Водные понятия и свойства

Понятие первообразной функции.

Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная функция f(x).

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на (a;b) и F?(x) = f(x).

Пример:

1) - есть первообразная для функции на , т.к.

2) первообразная для функции на , т.к.

Теорема: Если функция F(x) - первообразная для f(x) на (a;b), то функция F(x)+C - также первообразная для f (x), где C - любое постоянное число.

Теорема: Если F1(x) и F2(x)- две первообразные для функции f(x) на (a;b),то F1(x)-F2(x)=C на (a;b), где C- некоторая постоянная.

Следствие: Если F(x) - первообразная для f(x) на (a;b), то любая другая первообразная Ф(x) для f(x) на (a;b) имеет вид

Ф(x) = F(x) + C

Множество всех первообразных для f(x) на (a;b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом

Знак ? - называется интегралом,

- подынтегральное выражение,

- подынтегральная функция.[7]

Если F(x) - одна из первообразных для f(x), то

Свойства определённого интеграла

1)

2)

3)

4)

5)

Примеры

1)

2)

3)

Простейшие приемы интегрирование

Одним из сильнейших приемов для интегрирования функций является метод замены переменной или подстановки.

Предположим, что в интервале [a,b]

Теорема 1. Пусть дана функция , где непрерывна вместе со своей первой производной в интервале [a,b], и пусть для всех точек x интервала [a,b]. Значит

Примеры

1)

2)

Теорема 2. Интегрирование по частям.

Допустим, что u, v - функции от переменной x,непрерывные и имеющие производные в интервале (a,b). Имеем тогда

Беря неопределённые интегралы от обеих частей, и учитывая, что

получим

Пример:

1)

[2,7]

Интегрирование рациональных дробей.

Неопределённый интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших.

Рациональной дробью называется выражение вида , где и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду

,

где - многочлен (целая часть при делении), а - правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому

Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие дроби.

Простейшими являются дроби следующих типов:

1.;

2. ;

3. ;

4.

При этом предполагается, что A, B, p, q - действительные числа, а квадратный трехчлен в дробях 3 и 4 типов не имеет действительных корней.

Теорема 3. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на неповторяющиеся линейные и квадратные множители

Можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где A1,A2,...,B1,B2,...,C1,C2,...,M1,N1,... -- некоторые действительные коэффициенты. Обычно неизвестные коэффициенты находятся с помощью метода неопределённых коэффициентов. [3]

Пример: Найти интеграл

Подынтегральное выражение имеет вид , разложим знаменатель дроби на множители и получим

Таким образом, . Значит

Тогда найдем исходный интеграл

первообразный функция иррациональный интегрирование