2.3 Интегрирование функций вида

Среди интегралов от иррациональных функций большое практическое применение имеют интегралы вида . Одним из приемов их решения является метод неопределенных коэффициентов.

Интегралы вида очень часто удается свести к вычислению интегралов следующих трех типов:

(I) , (II) ,

(III) ,

где - многочлен степени , - натуральное число.

Интегралы типа (II) и (III) в свою очередь сводятся к интегралу типа (I). Действительно, Для интеграла типа (II) имеем:

,

где - некоторый многочлен степени .

А для приведения интеграла типа (III) к интегралу типа (I) применяют так называемую «обратную подстановку» . Тогда

,

и

,

где - многочлен степени , ,, - некоторые числа.

Теперь рассмотрим интегралы типа (I). Можно доказать, что

, (2)

где - некоторый многочлен, степень которого ниже чем степень многочлена , - некоторое число. Это позволяет использовать при вычислении интегралов (I) следующий алгоритм (метод неопределенных коэффициентов):

1.Записываем для интеграла (I) формулу (2), в которой полагаем, - неопределенный коэффициент, а - многочлен степени с неопределенными коэффициентами.

2.Дифференцируем обе части записанного равенства и умножаем обе части получившегося выражения на .

3.Сравнивая коэффициенты, при одинаковых степенях многочленов слева и справа, находим коэффициенты многочлена и число .

Используя этот алгоритм, мы в итоге сведем интеграл к интегралу , который легко находится (выделяем полный квадрат под корнем и вносим соответствующее выражение под знак дифференциала). [4]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл .

Записываем для данного интеграла формулу (2):

.

Дифференцируем обе части равенства и получаем:

.

Умножаем обе части равенства на и находим:

,

,

Таким образом, получили

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Приведем интеграл к виду (I). Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегральной функции на :

.

Записываем для данного интеграла формулу (2):

.

Дифференцируем обе части равенства и получаем:

.

Умножаем обе части равенства на и находим:

,

,

Таким образом, получили:

.