2.4 Тригонометрические подстановки

Среди интегралов от иррациональных функций большое практическое применение имеют интегралы вида . Такие интегралы можно находить с помощью тригонометрических подстановок.

Выделим полный квадрат под знаком радикала:

,

а затем сделаем замену .

В результате получим один из следующих интегралов:

или или .

Эти интегралы в свою очередь сводятся к интегралу от функции вида . Делается это с помощью одной из трех подстановок, называемых тригонометрическими:

1) (или ) для ;

2) (или ) для ;

3) (или ) для .

После их применения под знаком корня оказывается квадрат некоторой тригонометрической функции, что и позволяет избавиться от иррациональности.[7]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл .

Полагаем . Тогда

и.

Следовательно,

.

Теперь из находим, что и, подставляя в результат интегрирования, окончательно получаем

.

Замечание. Так как

и ,

то окончательный ответ можно записать в виде

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Полагаем . Тогда

и.

Следовательно,

.

Чтобы найти получившийся интеграл, еще раз сделаем замену. Полагаем . Тогда , и

.

Так как , то получившийся ответ можно записать в виде

,

где . Теперь из находим, что и

.

Таким образом, окончательно получим

.

Замечание. Используя формулу , окончательный ответ можно записать в виде

.

ПРИМЕР 3. Найти интеграл .

Выделим полный квадрат в под знаком радикала:

и сделаем замену

, .

Тогда

.

Получившийся интеграл можно найти двумя способами: 1) это интеграл от дифференциального бинома, для которого число - целое; 2) к этому интегралу можно применить тригонометрическую подстановку . Воспользуемся вторым способом. Тогда

и .

Следовательно,

.

Из теперь находим

,

и, подставляя в результат интегрирования, окончательно получаем

Замечания. 1) Если использовать формулу , то окончательный ответ можно записать в виде

.

2) Интеграл , к которому нас привела первая замена, носит промежуточный характер. Решение было бы более коротким, если бы мы сразу перешли от исходного интеграла к интегралу . Этого можно добиться, если «объединить» замены, т.е. после выделения полного квадрата под знаком радикала сделать замену .

Эти интегралы можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых легко найти, внеся знаменатель под знак дифференциала, а другой - табличный. [3]

ПРИМЕР 4. Найти интеграл .

Выделим полный квадрат под знаком радикала:

и сделаем замену . Тогда , и

.

Чтобы найти получившийся интеграл, представим его в виде суммы:

.

Возвращаясь к старой переменной , окончательно получим

.