logo
Интегрирование иррациональных функций

2.1 Интегрирование алгебраических иррациональностей

Основным приемом интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений является отыскание таких подстановок t=щ(x), которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в конечном виде в функции от t. Если при этом сама функция щ(x), которую надлежит подставить вместо t, выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от x.

Такой приём называется методом рационализации подынтегрального выражения. [4]

Интегрирование функций , где - рациональные числа.

Интеграл вида

(1)

сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены

,

где - общий знаменатель дробей .

Действительно, в этом случае

, ;

, , …, ,

где , , …, - целые

Тогда

.

[5]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл

Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и

Возвращаясь к переменной , окончательно получаем

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получаем

.

Частным случаем является функция вида , которую называют дробно-линейной иррациональностью, где a, b, c, d - постоянные числа, m - натуральное число, ad - bc ? 0.

Замена рационализирует интеграл. В самом деле, , откуда - рациональная функция от t.

Поэтому

= [6]

ПРИМЕР 3. Вычислить

Пологая , получим .

Таким образом =

Yandex.RTB R-A-252273-3