2.1 Интегрирование алгебраических иррациональностей
Основным приемом интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений является отыскание таких подстановок t=щ(x), которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в конечном виде в функции от t. Если при этом сама функция щ(x), которую надлежит подставить вместо t, выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от x.
Такой приём называется методом рационализации подынтегрального выражения. [4]
Интегрирование функций , где - рациональные числа.
Интеграл вида
(1)
сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены
,
где - общий знаменатель дробей .
Действительно, в этом случае
, ;
, , …, ,
где , , …, - целые
Тогда
.
[5]
ПРИМЕР 1. Найти интеграл
Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и
Возвращаясь к переменной , окончательно получаем
.
ПРИМЕР 2. Найти интеграл .
Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и
Возвращаясь к старой переменной, окончательно получаем
.
Частным случаем является функция вида , которую называют дробно-линейной иррациональностью, где a, b, c, d - постоянные числа, m - натуральное число, ad - bc ? 0.
Замена рационализирует интеграл. В самом деле, , откуда - рациональная функция от t.
Поэтому
= [6]
ПРИМЕР 3. Вычислить
Пологая , получим .
Таким образом =
Yandex.RTB R-A-252273-3- 5.Интегрирование иррациональных функций.
- Интегрирование иррациональных функций
- 12. Интегрирование иррациональных функций.
- Интегрирование иррациональных функций.
- Интегрирование иррациональных функций
- 15 Интегрирование иррациональных функций
- Интегрирование иррациональных функций
- Интегрирование иррациональных функций
- Интегрирование некоторых иррациональных функций
- 2. Интегрирование иррациональных функций.