Интегрирование иррациональных функций

Задача состоит в том, чтобы с помощью подстановки свести интеграл от иррациональной функции к интегралу от рациональной функции.

Рассмотрим некоторые из видов иррациональных функций.

1. , где– рациональная функция своих аргументов;дробные показатели.

Чтобы перейти к интегрированию рациональной функции, введем подстановку , где– НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей дробей.

ПРИМЕР. Найти .

РЕШЕНИЕ

В данной функции дробные показатели степени. Их знаменатели 2 и 3, НОК(2,3)=6, следовательно, можно сделать подстановку. Тогда

.

2. , где- рациональная функция своих аргументов,n – натуральное число.

В этом случае вводится подстановка . Таким образом, переходим к интегрированию дробно-рациональной функции.

ПРИМЕР. Найти .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку , тогда, а.

Получим

.