2.2 Интегрирование биномиальных дифференциалов

Дифференциальным биномом называется выражение вида

,

где - рациональные числа, - действительные числа.

Как доказал П.Л. Чебышев, интеграл выражается через элементарные функции только в трех случаях:

1) - целое число. Тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены , где - общий знаменатель дробей и .

2) - целое число. В этом случае интеграл рационализируется с помощью замены , где - знаменатель дроби .

3) - целое число. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену , где - знаменатель дроби .

[5]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл .

Это интеграл от дифференциального бинома:

,

где , , . Так как число является целым, то интеграл выражается через элементарные функции. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену . Откуда находим,

и

.

Возвращаясь к старой переменной , окончательно получаем

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Это интеграл от дифференциального бинома:

,

где , , . Так как - целое число, то интеграл выражается через элементарные функции. Чтобы рационализировать интеграл, необходимо сделать замену . Откуда находим,

и

.

Из находим, что . Подставляя это выражение в результат интегрирования, окончательно получаем

.

ПРИМЕР 3. Найти интеграл

Это интеграл от дифференциального бинома

,

где , значит, используем подстановку , получаем, что

Возвращаясь к первоначальной подстановке, получаем