2.1 Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей -- та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть Щ -- множество элементов щ, которые называются элементарными событиями, а F -- множество подмножеств Щ, называемых случайными событиями (или просто -- событиями), а Щ -- пространством элементарных событии.

Аксиома I (алгебра событий). F является алгеброй событий.

Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(x), которое называется вероятностью события x.

Аксиома III (нормировка вероятности).P(Щ) = 1.

Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то P(x+y) = P(x) + P(y).

Совокупность объектов (Щ, F, P), удовлетворяющую аксиомам I--IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I--IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: Щ состоит из единственного элемента щ, F -- из Щ и невозможного событий (пустого множества) Ш, при этом положено P(Щ) = 1, P(Ш) = 0. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.