Примеры

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.

• Пространство всех функций   с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X.

• поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

• Любое поле является одномерным пространством над собой

Вектор в линейной алгебре — элемент векторного пространства (частный случай тензора).

ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ — вектор, представленный в виде x = α_ia_i +... + α_na_n, где коэффициенты α_i — произвольные числа; a_i — рассматриваемые векторы (i = 1, ..., n). Если сумма коэффициентов равна единице и 0 < α_i < 1, имеем выпуклую Л. к. в.

15. В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множествоназывается линейно независимым.

Свойства

• линейно зависимо

• M линейно независимо   M' линейно независимо для всех 

• M линейно зависимо   M' линейно зависимо для всех 

16. Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виделинейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Примеры

• Векторы   пространства   образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0:  .

• В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции:  .

• Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА [dimensionality of vector-space] — максимальное число линейно-независимых векторов в векторном (линейном) пространстве (см. Линейная зависимость векторов). Если это число конечно, то пространство называется конечномерным (многомерным). В противном случае — бесконечномерным.Пример конечномерного векторного пространства — множество возможных планов цеха из ст. “Вектор”. Размерность этого пространства равна 4. Точки на прямой действительных чисел образуют одномерное пространство.

17. Ма́трицей перехо́да от базиса   к базису   является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов   в базисе  .

Обозначается 

Свойства

• Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.

18) Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.