1.Ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

• Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (a_ij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна  . Здесь   — число,комплексно сопряжённое к a.

• Транспонирование и эрмитово сопряжение

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (a_ij), то A^T = (a_ji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение:  . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

3. Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Свойства определителей

• Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам):   , где   и т. д. — строчки матрицы,   — определитель такой матрицы.

• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

4. Алгебраическим дополнением элемента   матрицы   называется число

,

где   — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы   путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):

Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что

при   и  .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,

• транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,

• разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

5. Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: