Линейка

19) Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

— решения системы (1);
линейно независимы;

20) Лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Примеры линейных однородных операторов:

оператор дифференцирования: ;
оператор интегрирования: ;
оператор умножения на определённую функцию φ(t):y(t) = φ(t)x(t);
оператор интегрирования с заданным «весом»
оператор взятия значения функции f в конкретной точке x₀: L{f} = f(x₀)^[4];
оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax;
оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

Любое аффинное преобразование;
;
;
y(t) = φ₁(t)x(t) + φ₂(t);

где φ(t), φ₁(t), φ₂(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.

21) Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

22) Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

тогда

c(A) = A² − (a₁₁ + a₂₂)A + (a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁)E =

Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

23) ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S₁ , S₂ , ... , S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно x₁ , x₂ , ... , x_n. Обозначимкоэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

a_1j + a_2j + ... + a_nj = 1 (j = 1,2,...,n).

Рассмотрим матрицу

		\|\|	a₁₁	a₁₂	...	a_1n	\|\|
		\|\|	a₂₁	a₂₂	...	a_2n	\|\|
A	=	\|\|	...	...	...	...	\|\|	,
		\|\|	a_n1	a_n2	...	a_nn	\|\|

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S_i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:

p_i = a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

p_i > = x_i (i = 1,2,...,n).

24) Скалярным произведением в векторном пространстве над полем называется функция для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
для любых и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Содержание