Машинные формы представления чисел.

Существуют два основных способа представления данных в ЭВМ: с фиксированной и плавающей запятой.

Представление чисел в форме с фиксированной запятой. Для сокращения длины разрядной сетки и упрощения обработки данных положение запятой может быть зафиксировано схемотехнически. При этом в слове данных сохраняются только две структурных компоненты: поле знака и поле цифр.

Определим диапазон представления чисел для этого формата.

А_max=(2^k-1)+(1-2^-l).

В зависимости от размеров целой и дробной частей возможно следующее:

± , 1 1 . . . 1 1

± 1 1 . . . 1 1,

± , 0 0 . . . 0 1

± 0 0 . . . 0 1,

Очевидно, что ограничение длины разрядной сетки приводит к ограничению диапазона хранимых чисел и потере точности их представления. Поэтому на практике широко используется и другая форма представления чисел.

Представление чисел в форме с плавающей запятой. В общем виде числа с плавающей запятой имеют следующий вид:

A=m_Ar^p_A,

где m_A- мантисса, а р_A- порядок числа А. Порядок (с учетом знака) показывает, на сколько разрядов и в какую сторону сдвинута запятая при замене формы записи числа с естественной на нормальную.

Например, А₁₀ = 239,745 = 0,239745 10³ = 239745 10^-3.

Наиболее распространено и удобно для представления в ЭВМ ограничение вида r^-1≤m_A1.

Форма представления чисел, для которых справедливо данное ограничение, называется нормализованной. Так как абсолютное значение мантиссы в этом случае лежит в диапазоне от r^-1 до 1-r^-n, где n – число разрядов мантиссы без знака, то положение разрядов числа в его машинном изображении непостоянно. Отсюда и название этой формы представления чисел – с плавающей запятой. Формат машинного изображения чисел с плавающей запятой должен включать знаковые поля (мантиссы и порядка), поле мантиссы и поле порядка числа и имеет следующий вид:

Для данного формата разрядной сетки можно записать следующий диапазон представления чисел.

Для упрощения операций над порядками применяют представление чисел с плавающей запятой со смещенным порядком: p=p+N, где N – целое положительное число (смещение), N= max(-p). Обычно N=2^k, где k- число двоичных разрядов в поле цифр несмещенного порядка. В этом случае поле знака порядка избыточно, так как p’ всегда положительно. Такие смещенные порядки называют характеристиками. В зависимости от типа данных числа с плавающей запятой в памяти ЭВМ хранятся в одном из следующих трех форматов:

При выполнении арифметических операций над числами с плавающей запятой может получаться результат выходящий за пределы диапазона представления чисел, при этом выход за правую границу диапазона принято называть переполнением порядка (получение очень большого числа), а выход за левую границу – исчезновение порядка (потеря порядка) получение очень малого числа близкого к нулю.

В стандарте IEEE крайние значения порядка (характеристики) зарезервированы и не используются для представления обычных чисел. Максимальное значение характеристики представленное всеми единицами при положительном знаке числа зарезервировано для представления значения (+ ∞) при нулевой мантиссе. При знаке минус число с максимальной характеристикой используется для представления (- ∞) и неопределенности. Значение с минимальной характеристикой равной нулю зарезервировано для представления денормализованных чисел (положительных и отрицательных), а также для представления нуля (представляется всеми нулями), причем различают +0 и –0.