Графика

5.1. Исследование функций и построение их графиков

План исследования функций и построения их графиков включает в себя следующие основные пункты

1. Найти область определения функции и определить ее поведение на границах области определения; найти горизонтальные и вертикальные асимптоты.

2. Найти наклонные асимптоты.

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы и вычислить значения функции в точках экстремума.

4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба и вычислить значения функции в точках перегиба.

5. Построить график функции.

Пример 5.1.Провести полное исследование функциии построить ее график.

Решение.Будем решать данный пример в программе Maple.

Классическое окно

Стандартное окно

1) Определим функцию в программе с помощью оператора f:=x->f(x), где f(x) некоторое выражение от переменной

> f:=x->2*x^3/(x^2-4);

Найдем точки разрыва функции с помощью функции discont(f(x),x)

> discont(f(x),x);

Таким образом, область определения функции есть объединение трех промежутков . Исследуем поведение функции на границах области определения с помощью функции limit(f(x),x=a).

> Limit(f(x),x=-infinity)=limit(f(x),x=-infinity);

> Limit(f(x),x=-2,left)=limit(f(x),x=-2,left);

> Limit(f(x),x=-2,right)=limit(f(x),x=-2,right);

> Limit(f(x),x=2,left)=limit(f(x),x=2,left);

> Limit(f(x),x=2,right)=limit(f(x),x=2,right);

> Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);

Следовательно,

– если ,

– если 2 x  слева, то y -¥,

– если 2 и,

– если .

Поэтому горизонтальных асимптот нет, вертикальные асимптоты:

x = -2 и x = 2.

2) Проверим существование наклонных асимптот y=kx+b по формулам

Классическое окно	Стандартное окно
> k:=limit(f(x)/x,x=-infinity); *b:=limit(f(x)-kx, x=-infinity);**	>
– y= 2x – наклонная асимптота при.
> k:=limit(f(x)/x,x=infinity); *b:=limit(f(x)-kx, x=infinity);**	>
– y=2x – наклонная асимптота при .

3) Найдем первую производную

Классическое окно

Стандартное окно

> f1:=x->diff(f(x),x); normal(f1(x));

Приравнивая производную к нулю, найдем ее корни

> z:=[solve(f1(x)=0,x)];

Всего получилось три корня, из которых корень x =0 имеет кратность 2.

Корни записаны в индексированный список z[i],i= 1,2,3,4, так чтоz[1]=z[2]= 0,z[3]=,z[4]=. Определим изменения знака производной при переходе через корни:

Классическое окно

Стандартное окно

а) корень x =0

> subs(x=z[1]-0.1,f1(x)); subs(x=z[1]+0.1,f1(x));

Знак производной не меняется, поэтому x = 0 не является точкой экстремума.

б) корень x=

> evalf(subs(x=z[4]-0.1,f1(x)));

evalf(subs(x=z[4]+0.1,f1(x)));

Знак производной меняется с + на -, поэтому точка x=является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке равно

> f(z[4]); evalf(%);

в) корень x =

> evalf(subs(x=z[3]-0.1,f1(x)));

evalf(subs(x=z[3]+0.1,f1(x)));

Знак производной меняется с - на+, поэтому точка x = является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке равно

> f(z[3]); evalf(%);

Определим участки возрастания и убывания функции.

> solve(f1(x)>0,x);

– на интервалах () и () функция возрастает.

> solve(f1(x)<0,x);

– на интервалах (), (-2;2) и () функция убывает.

4) Найдем вторую производную

Классическое окно

Стандартное окно

> f2:=x->diff(f(x),x,x);normal(f2(x));

Найдем корни второй производной

> u:=[solve(f2(x)=0,x,real)];

Получился всего один корень x =0 . Проверим изменение знака второй производной при переходе через этот корень.

> evalf(subs(x=u[1]-0.1,f2(x)));

evalf(subs(x=u[1]+0.1,f2(x)));

Знак меняется, следовательно, точка x =0 является точкой перегиба. Значение функции в точке перегиба равно 0:

> f(0);

Определим участки выпуклости вниз (вогнутости) и выпуклости вверх (выпуклости) графика функции.

> solve(f2(x)>0,x);

на интервалах (-2;0) и (2;+ ) график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

> solve(f2(x)<0,x);

– на интервалах (;-2) и ( 0; 2) график функции является выпуклым вверх (выпуклым).

По данным исследования строим график функции. Представим его в виде графика самой функции, графиков асимптот и графиков точек экстремума (рисунок 5.1).

Классическое окно

Стандартное окно

> with(plots):

> P1:=plot(f(x),x=-10..10,y=-20..20,discont=true, color=red,thickness=2):

– график самой функции;

> P2:=implicitplot([x=-2,x=2,y=2*x],x=-10..10,

y=-20..20,color=black,thickness=1,linestyle=dash):

– графики асимптот;

> P3:=pointplot([[2*sqrt(3),6*sqrt(3)],[-2*sqrt(3),

-6*sqrt(3)],[0,0]],symbol=solidcircle,symbolsize=15):

– графики точек экстремума и точки перегиба

> display(P1,P2,P3);

Рисунок 5.1 – График функции

Yandex.RTB R-A-252273-3

Содержание

Yandex.RTB R-A-252273-4