3.1. Дискретное представление процессов

Дискретизация процессов. Пусть в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал времени t=h, производится выборка из отдельной реализации u(t) случайного процесса с непрерывным временем. Величина этого интервала определяет рассмотренную частоту свертывания (или частоту Найквиста). Пусть:

- численные значения реализации в N точках

Рис. 10. Дискретное представление непрерывного процесса.

Точка t₀ выбирается произвольно и в случае, если п принимает значения от 1 до N, а не от 0 до N - 1, в дальнейшие формулы не входит.

Определение объема выборки. Объем выборки N следует по возможности определять исходя из желаемой точности последующих оценок. Правила такого выбора рассматриваются в последующих разделах этой главы. Исходные данные могут быть представлены в виде:

Процедура дискретного представления процесса иллюстрируется рис. 10. Заметим, что длина реализации Т_r должна удовлетворять равенству T_r=Nh.

Вычисление среднего значения. Выборочное среднее значение находится в виде:

где N - число отсчетов, а u_n значения отсчетов. Рассчитываемая по этой формуле величина и представляет собой несмещенную оценку истинного среднего значения и.

Приведение процесса к нулевому среднему значению.

Для упрощения последующих расчетов и выкладок желательно преобразовать процесс таким образом, чтобы среднее его значение было равно нулю. Определим новую реализацию в виде . Тогда последовательность {х_п} значений функции x(t) определяется в виде

Заметим, что =0. Цель представления исходного процесса в виде последовательности {х_п}, а не {и_п} состоит в том, чтобы показать, что среднее значение последовательности {х_п} равно нулю. В последующих формулах будет использоваться именно эта преобразованная последовательность {х_п}.

Вычисление стандартного отклонения. Выборочное стандартное отклонение определяется как:

где N-число отсчетов, а х_п - значения преобразованного процесса со средним =0. Рассчитываемые по этой формуле величины s и s² представляют собой несмещенные оценки истинных значений стандартного отклонения _х и дисперсии _х².

Приведение к единичному стандартному отклонению. При использовании вычислительной машины с фиксированной, а не с плавающей запятой удобно выполнить еще одно преобразование процесса. Умножая преобразованные значения х_п на 1/s, получим последовательность:

Такой процесс будет иметь нулевое последовательность выборочное среднее значение и равное единице выборочное стандартное отклонение.