logo
Методы цифровой обработки

3.3.1. Ряд Фурье

Если предположить, что реализация x(t) обладает периодич­ностью и период ее равен Тр, а основная частота fx = 1/Тр, то реа­лизация может быть представлена рядом Фурье

где:

Пусть реализация x(t) имеет конечную длину Тr = Тp , равную основному периоду. Предположим также, что она состоит из четного числа N эквидистантных наблюдений с интервалом дискретности h, который выбран таким образом, что частота среза fc = 1/2h достаточно высока. Будем считать, что нулевая ордината реализации равна нулю, и обозначим, как и прежде, преобразованную последовательность в виде:

(6)

Вычислим теперь по всем N значениям реализации конечный ряд Фурье. Для любой точки t, принадлежащей интервалу (0, Тр), этот ряд имеет вид:

Коэффициенты А0 и B0 определяются выражениями:

Программа для расчета величин A0 и B0 должна содержать следующие операции:

  1. определение величины 0 = 2qn/N при фиксированных значениях q и п;

  1. вычисление cos и sin ;

  1. вычисление xn*cos и xn*sin ;

  2. вычисление суммы для каждого из этих выражений при n= 1, 2, .... N;

  3. приращение аргумента q на единицу и повторение всех перечисленных действий.

Такой способ требует выполнения примерно .N2 операций умножения и сложения действительных чисел.

Поскольку затраты машинного времени и стоимость расчетов зависят от N2, при больших N такой стандартный метод вычисления коэффициентов A0 и B0 может оказаться дорогостоящим и потребовать значительного времени. Чтобы существенно снизить затраты машинного времени, были разработаны и введены в практику другие способы расчета, получившие название быстрого преобразования Фурье (БПФ). Рассмотрим детально эти важные методы, применяемые для цифрового анализа случайных процессов.