Тема 9. Основы выборочного метода

Сплошное и выборочное наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Собственно-случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности, свойства оценок: несмещенность, состоятельность и эффективность. Оценка генеральных доли и средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочных доли и средней. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии как оценки генеральной дисперсии. Интервальная оценка параметров. Доверительная вероятность, надежность оценки и предельная ошибка выборки. Формулы доверительных вероятностей для средней и доли. Объем выборки. ([1], § 9.1, 9.2, 9.4, 9.6).

Выборочный метод широко применяется на практике. Однако значение этой темы значительно шире, поскольку концепция выборки лежит в основе методологии математической статистики. Соотношение между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей есть соотношение между опытными данными (результатами наблюдений) и теоретической моделью.

Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. Поэтому выборочные характеристики – выборочные средняя , доля w и дисперсия s² – величины случайные в отличие от их аналогов в генеральной совокупности p и – величин неслучайных.

Необходимо знать свойства выборочных оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Уметь обосновать несмещенность и состоятельность выборочных средней и доли. При этом следует помнить, что основное требование, предъявляемое к выборочной оценке заключается в том, чтобы ее рассеяние относительно оцениваемого параметра т.е. было минимальным. Для несмещенной оценки, для которой это требование означает ее эффективность. Но даже «наилучшая» оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра и, будучи величиной случайной, может существенно отличаться от самого параметра.

Поэтому наряду с точечной рассматривают интервальную оценку параметра, т.е. такой числовой интервал, который с заданной доверительной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестное значение параметра. Программой предусматривается построение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли собственно-случайных выборок (повторной и бесповторной). Основой являются формулы доверительной вероятности для средней и доли ([1], ( формулы (9.23), (9.24 )).

Необходимо усвоить три типа задач на выборку, сводящиеся к определению предельной ошибки выборки или границ доверительного интервала, надежности оценки и объема выборки.

При решении задач на нахождение объема выборки следует учесть, что это не просто задачи на вычисление неизвестной величины n из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через дисперсию признака. Ведь обычно объем выборки надо знать до проведения выборочного наблюдения, но в этом случае неизвестны не только дисперсии признака или рq, но даже их оценки. Поэтому вместо неизвестных значений или рq берут выборочные характеристики s² или w(1 – w) предшествующего исследования в аналогичных условиях, т.е. полагают, что Если никаких сведений о или р нет, то в качестве или р используют их выборочные оценки по специальной пробной выборке небольшого объема и по формулам (9.33) – (9.36) находят объем основной выборки. При оценке генеральной доли р вместо проведения пробной выборки можно в формулах объема выборки произведение рq=р(1 –р) заменить его максимальным значением, равным 0,25.

Если по условию задачи объем бесповторной выборки значительно меньше объема генеральной совокупности или генеральная совокупность бесконечна, то расчет необходимых характеристик проводят по формулам для повторной выборки.