Тема 7. Закон больших чисел

Сущность закона больших чисел. Значение теорем закона больших чисел для математической статистики. Лемма Чебышева (неравенство Маркова). Неравенство Чебышева и его частные случаи: а) для средней арифметической случайных величин; б) для случайной величины, распределенной по биномиальному закону; в) для частости события. Теорема Чебышева и ее следствие. Теорема Бернулли. ([1], § 6.1–6.4).

Данная тема важна для понимания методов математической статистики. Она включает ряд теорем, устанавливающих при определенных условиях устойчивость частости (относительной частоты) и средней арифметической (теоремы Бернулли, Чебышева и др.). При изучении каждой из них важно уяснить условия их применимости, а также смысл утверждений, сопровождаемых словами «практически невозможно», «практически достоверно». Особое внимание следует уделить понятию «сходимости по вероятности».

При использовании неравенств Маркова и Чебышева в процессе решения задач необходимо учитывать, что:

1) приведенные неравенства дают не точное значение соответствующей вероятности, а лишь ее оценку снизу или сверху (вероятность не меньше (не больше) данного числа);

2) неравенство Чебышева оценивает вероятность отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания M(X) = a.

Неравенство |X – a| может быть представлено в виде:

или Это означает, что случайная величина Х принимает значения в границах, симметрично расположенных от­носительно а, т.е. от до