Тема 3. Повторные независимые испытания

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применения. Локальная теорема Муавра—Лапласа. Функция f(x), ее свойства и график. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и ее следствия. Функция Ф(х) Лапласа и ее свойства. ([1], § 2.1—2.4).

В этой теме рассматривается схема Бернулли — последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью Р(А) = р. Результат испытаний-появление т раз события А, которое чередуется в любом порядке с п – т раз непоявлением события А.

При этом могут определяться вероятности того, что:

а) событие А появится точно т раз (вероятность Р_m,n);

б) событие А появится не менее или не более данного числа а раз (вероятности P_n(m ≥ a) или Р_n(m ≤ a);

в) событие А появится т раз, заключенное в границах от а до b (включительно), т.е. вероятность Р_n(a ≤ m ≤ b).

При решении задач темы следует уяснить, что нужно понимать под испытанием и событием А. Далее необходимо сформулировать вопрос задачи в виде условий, налагаемых на число т наступлений события или частость (относительную частоту) т/п. Затем перейти к записи условий задачи в терминах и обозначениях схемы повторных испытаний, к выбору подходящей расчетной формулы и вычислительной схемы.

Расчет вероятностей можно производить по точной формуле Бернулли (если п — небольшое число) и по асимптотическим формулам, если п велико. Если по техническим причинам вероятность Р_m,n не может быть вычислена по формуле Бернулли, то используются асимптотические формулы — формула Пуассона (если п — велико, р — мала, так, что λ=np ≤ 10), локальная формула Муавра—Лапласа (если ). Если необходимо найти вероятность числа т (частости т/п) появления события, заключенного в некоторых пределах, то при условии может быть использована интегральная теорема Муавра—Лапласа и ее следствия.