Тема 2. Основные теоремы

Сумма и произведение событий. Теорема сложения вероятностей и ее следствия. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Формулы полной вероятности и Байеса. ([1], § 1.7—1.11).

Студент должен четко усвоить основные операции над событиями — их сумму и произведение. Если (А + В) — событие, состоящее в появлении хотя бы одного из данных событий (т.е. наступления либо события А, либо события В, либо обоих событий вместе), то АВ представляет событие, состоящее в совместном появлении двух событий (т.е. наступления и события А, и события В). Нужно знать, что событием, противоположным сумме нескольких событий, является произведение противоположных событий, т.е.

а событием, противоположным произведению нескольких событий, есть сумма противоположных событий:

Основными теоремами данной темы являются теоремы сложения и умножения вероятностей. Следует четко знать, что вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей (т.е. Р(А + В) =Р(А) +Р(В)) для несовместных событий, а вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей (т.е. Р(АВ) =Р(А)Р(В)) для независимых

событий.

Завершают тему формулы полной вероятности и Байеса, являющиеся следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Общим для этих формул является то, что они применяются в случае, когда данное событие F может произойти только при условии появления одной из гипотез А₁, А₂,…, А_n, образующих полную группу событий. Но если в формуле полной вероятности для P(F) ищется вероятность события F (безотносительно к рассматриваемой гипотезе), то формула Байеса позволяет произвести количественную переоценку априорных вероятностей гипотез Р(А_i) (i = 1, 2, ..., п), известных до испытания, лишь после того, как событие F произошло, т.е. найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез Р_F(А_i).

Особое внимание следует уделить задачам по данной теме. Решение каждой из них должно сопровождаться предварительным логическим анализом условия, формулировкой и обозначением искомого события, выявлением его логической связи с другими, более простыми событиями. Этот анализ выявит применимость в данной задаче той или иной формулы или теоремы (теорем сложения, умножения, формул полной вероятности, Байеса и т.п.) и позволит обосновать дальнейшие операции, связанные с расчетом вероятностей.

При решении задачи прежде всего необходимо ввести обозначения для событий и по данным условия составить соотношения между ними, позволяющие определить искомую вероятность через данные или более просто определяемые вероятности. Нужно соблюдать условие применимости используемой теоремы (например, условие несовместности событий при использовании теоремы сложения, условие зависимости или независимости событий при использовании теоремы умножения и т.п.).