Теорема Безу и её следствие

Корнем многочлена P(x) называется число α, такое, что P(α) = 0.

Теорема: Число α является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда многочлен P(x) делится на (х- α) без остатка.

Док-во: Независимо от α, остаток от деления многочлена P(x) на (х- α) есть многочлен степени, меньшей чем степень многочлена (х- α), т.е. число, поэтому P(x)=(x- α)Q(x)+b, где b есть некоторое число, а Q(x) – многочлен, степень которого на 1 меньше степени многочлена P(x). Из этого равенства следует, что P(α) = b, откуда b=0, есть α является корнем многочлена, т.е. P(x) = (х- α)Q(x).

Обратно, если P(x) делится на (x- α) без остатка, то P(x) = (х- α)Q(x). Если положить в последнем равенстве х= α, то сразу получаем P(α)=0. Теорема доказана.

Следствие: Многочлен P(x) степени n с действительными или комплексными коэффициентами допускает разложение в произведение линейных множителей P(x)=a₀(x- α₁)(x- α₂)…(x- α_n), где { α₁, α₂, …, α_n} – корни многочлена P(x).

Док-во: По т. Безу, если α_{1 –} корень многочлена P(x), то P(x)=(x- α₁)Q₁(x). Аналогично, если α₂ – корень многочлена Q₁(x), то Q₁(x)=( x- α₂)Q₂(x) и P(x)=( x- α₁)( x- α₂) Q₂(x). Используя на основании т.Безу и далее такие же рассуждения для многочлена Q₂(x) и всех последующих многочленов Q₃(x), Q₄(x), …, Q_n(x), мы получим требуемое разложение на линейные множители.

23. Содержание

    • Множества n,z,q,r
    • Числовые промежутки
    • Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
    • Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
    • Числовая функция
    • Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
    • Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
    • Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
    • Формула Муавра
    • Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
    • Многочлены в комплексной области. Условие
    • Основная теорема алгебры (т. Гауса)
    • Деление многочленов. Частное и остаток
    • Теорема Безу и её следствие
    • Кратность корня. Простые и кратные корни
    • Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
    • Последовательность, её геометрическое изображение.
    • Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
    • Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
    • Расходящиеся последовательности.
    • Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
    • Число е. Натуральные логарифмы.
    • Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
    • Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
    • Первый замечательный предел.
    • Односторонние пределы.
    • Предел функции при х→±∞.
    • Второй замечательный предел. Следствия.
    • Замечательный логарифмический предел
    • Замечательный показательный предел
    • Замечательный степенной предел
    • Функция, ограниченная на данном множестве.
    • Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
    • Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
    • Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
    • Бесконечно большая функция.
    • Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
    • Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
    • Непрерывность функции на промежутке.
    • Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
    • Непрерывность элементарных функций.
    • Точки разрыва функции и их квалификация.
    • Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
    • Определение производной.
    • Механический смысл производной.
    • Определение дифференцируемой (в точке) функции.
    • Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
    • Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
    • Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
    • Односторонние производные.
    • Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
    • Геометрический смысл производной
    • Бесконечная производная и вертикальная касательная.
    • Правила дифференцирования (теоремы).
    • Вычисление производных основных элементарных функций
    • Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
    • Неявная функция и её дифференцирование.
    • Приближенное вычисление приращения функции.
    • Производные высших порядков.
    • Механический смысл 2 производной.
    • Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
    • Производная вектор-функции.