logo
ОТВЕТЫ МАТАН теория 1 семестр

Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение

Комплексным числом называется выражение вида a+bi, где а,b действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i2=-i. Множество комплексным чисел обычно называется полем комплексным чисел и обозначается С. Для комплексного числа z=a+bi действительное число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez = a; действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Imz=b.

Для понимания различных св-в часто оказывается полезным геометрическое изображение этих чисел точками или векторами на координатной плоскости R2 = {(x,y)}, если отождествить комплексное число z=a+bi с точкой с координатами (а,b) или же с радиус-вектором последней точки.

  1. Арифметические операции над комплексными числами

Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

Деление

  1. Комплексно – сопряженные числа, геометрический смысл операции комплексного сопряжения.

В множестве комплексным чисел С существует ещё одна замечательная операция: комплексному числу z=x+yi можно сопоставить комплексное число , называемое комплексно-сопряжённым к z. Операция комплексного сопряжения имеет простой геометрический смысл, - отражение относительно действительной оси Ох.

  1. Произведение комплексно сопряженных чисел и нахождение частного

Произведение комплексного числа z на его комплексно сопряжённое z равно квадрату модуля этого числа . Деление на комплексное число w=c+di≠0 так же возможно: z/w=zw-/ww-=1/|w|2 *zw--, и для нахождения частного осталось перемножить два комплексных числа z и w--.

  1. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел

Для z=x+yi неотрицательное число называется модулем числа z, расстояние от z до 0, и, соответственно, |z-w| есть расстояние между комплексными числами z и w, если эти числа рассматривать как точки плоскости.

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

  1. Тригонометрическая форма комплексного числа

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

, где r=|z|=√a2+b2, а tg =b/a

  1. Формула Эйлера

В основе ещё одной формы записи комплексного числа лежит замечательная формула Эйлера, связывающая показательную и тригонометрические функции. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство: ,где e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица.

  1. Показательная форма комплексного числа

Используя формулу Эйлера мы можем придать тригонометрической форме записи комплексного числа следующий вид:

Z=|z|eiф, где для z=a+bi, |z|=√a2+b2, а tg =b/a.

  1. Модуль и аргумент произведения и частного

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению из модулей, а аргумент равен сумме аргументов.

Z1=|Z1|(cosФ1+isinФ1)

Z2= |Z2|(cosФ2+isinФ2)

Z1Z2=|Z1||Z2|(cos(Ф1+ Ф2) + isin(Ф1+ Ф2))

Z1=|Z1|eiф1

Z2=|Z2|eiф2

Док-во: z1*z2=|z1|eiф1*|Z2|eiф2=|Z1||Z2|ei(ф1+ф2)=|Z1||Z2|(cos(ф1+ф2)+isin(ф1+ф2)).

Модуль частного двух чисел равен частному их модулей, а аргумент равен разности аргументов.

Z1/Z2=|z1|eiф1/|Z2|eiф2=|Z1|/|Z2|i(ф1-ф2).