Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции

Композиция функций (суперпозиция функций) в математике — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций F и G обычно обозначается . Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством: .

Элементарными функциями будут называться всевозможные функции, полученные из основных элементарных функция (возможно, многократных) применением операций образования сложных функций, сложения, умножения и деления.

Среди эл-х ф-ий простейшими являются многочлены: P(x) = a₀xⁿ+a_qx^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n – суммы целых неотрицательных степеней переменной х с некоторыми коэффициентами, и рациональные функции (дроби) : отношения P(x)/Q(x) двух многочленов.

8. Содержание

   • Множества n,z,q,r
   • Числовые промежутки
   • Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
   • Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
   • Числовая функция
   • Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
   • Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
   • Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
   • Формула Муавра
   • Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
   • Многочлены в комплексной области. Условие
   • Основная теорема алгебры (т. Гауса)
   • Деление многочленов. Частное и остаток
   • Теорема Безу и её следствие
   • Кратность корня. Простые и кратные корни
   • Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
   • Последовательность, её геометрическое изображение.
   • Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
   • Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
   • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
   • Расходящиеся последовательности.
   • Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
   • Число е. Натуральные логарифмы.
   • Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
   • Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
   • Первый замечательный предел.
   • Односторонние пределы.
   • Предел функции при х→±∞.
   • Второй замечательный предел. Следствия.
   • Замечательный логарифмический предел
   • Замечательный показательный предел
   • Замечательный степенной предел
   • Функция, ограниченная на данном множестве.
   • Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
   • Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
   • Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
   • Бесконечно большая функция.
   • Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
   • Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
   • Непрерывность функции на промежутке.
   • Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
   • Непрерывность элементарных функций.
   • Точки разрыва функции и их квалификация.
   • Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
   • Определение производной.
   • Механический смысл производной.
   • Определение дифференцируемой (в точке) функции.
   • Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
   • Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
   • Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
   • Односторонние производные.
   • Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
   • Геометрический смысл производной
   • Бесконечная производная и вертикальная касательная.
   • Правила дифференцирования (теоремы).
   • Вычисление производных основных элементарных функций
   • Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
   • Неявная функция и её дифференцирование.
   • Приближенное вычисление приращения функции.
   • Производные высших порядков.
   • Механический смысл 2 производной.
   • Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
   • Производная вектор-функции.