Неявная функция и её дифференцирование.
Неявные функции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних. Функции y = f(x), , заданной уравнением F(x,y) = z0, и значение фиксированно.
При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .
Логарифмическая производная.
(lny)’=1\y*y’
Определение дифференциала и его связь с производной.
Дифференциал — линейная часть приращения функции или отображения. Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается dxf.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет дифференциал.
Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.
Правила нахождения дифференциала.
Для вычисления дифференциала функции f(x) достаточно найти производную f’(x) и к полученному результату просто приписать df. Вычисление дифференциала происходит именно в точке х0, а не в произвольной точке х, то функциональную запись дифференциала обычно сокращают до df=f’(x)dx. Существует следующая формула для вычисления дифференциала: d(u+v)=du+dv; d(uv)=udx+vdu; d(u\v)=vdu=udv\v2.
Геометрический смысл дифференциала.
f’(x0)∆x – это приращение ординаты текущей точки касательной, соответствующее приращению аргумента ∆x. Приращение касательной есть длина отрезка, которая равна f’(x0)∆x.
Инвариантность формы дифференциала.
Функциональная запись дифференциала df = f’(x)dx не зависит от того, является х независимой переменной или зависит от другой переменной, например, x=ф(t), где ф дифференцируемая функция.
Док-во: Если х=ф(t), где ф - дифференцируемая функция, то левая часть df равенства df=f’(x)dx после подстановки x=ф(t) принимает вид: df(ф(t))=(f(ф(t))ф’(t)dt. Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования сложной функции. С другой стороны, правая часть f’(x)dx равенства df=f’(x)dx после подстановки x(t)=ф(t) принимает вид: f’(x)dx=f’(ф(t))dф=f’(ф(t))ф’(t)dt, т.е. равенство df=f’(x)dx остаётся в силе и после подстановки x=ф(t). Теорема доказана.
- Множества n,z,q,r
- Числовые промежутки
- Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
- Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
- Числовая функция
- Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
- Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
- Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
- Формула Муавра
- Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
- Многочлены в комплексной области. Условие
- Основная теорема алгебры (т. Гауса)
- Деление многочленов. Частное и остаток
- Теорема Безу и её следствие
- Кратность корня. Простые и кратные корни
- Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
- Последовательность, её геометрическое изображение.
- Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
- Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- Расходящиеся последовательности.
- Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
- Число е. Натуральные логарифмы.
- Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
- Первый замечательный предел.
- Односторонние пределы.
- Предел функции при х→±∞.
- Второй замечательный предел. Следствия.
- Замечательный логарифмический предел
- Замечательный показательный предел
- Замечательный степенной предел
- Функция, ограниченная на данном множестве.
- Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
- Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
- Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- Бесконечно большая функция.
- Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
- Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
- Непрерывность функции на промежутке.
- Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
- Непрерывность элементарных функций.
- Точки разрыва функции и их квалификация.
- Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
- Определение производной.
- Механический смысл производной.
- Определение дифференцируемой (в точке) функции.
- Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
- Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
- Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
- Односторонние производные.
- Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
- Геометрический смысл производной
- Бесконечная производная и вертикальная касательная.
- Правила дифференцирования (теоремы).
- Вычисление производных основных элементарных функций
- Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
- Неявная функция и её дифференцирование.
- Приближенное вычисление приращения функции.
- Производные высших порядков.
- Механический смысл 2 производной.
- Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
- Производная вектор-функции.