Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.

Пусть α(х) и β(х)— две функции, бесконечно малые в точке х=а. Если , то говорят, что α(х) более высокого порядка малости, чем β(х) и обозначают α (х) = о(β(х)). Если же , то β(х) более высокого порядка малости, чем β(х); обозначают β(х)=о(α (х)) . Бесконечно малые функции α(х) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают α(х) = о(β(х)).  И, наконец, если  не существует, то бесконечно малые функции α(х) и β(х) несравнимы.

46. Эквивалентные бесконечно малые.

Бесконечно малые в точке а функции α(х) и β(х) называются эквивалентными в точке а, если lim_x→aα(x)/β(х)=1.

Обозначение для эквивалентныхбесконечных малых функций: α(х) ~ β(х).

Таким образом, первый замечательный предел означает, что функции sinx эквивалентна х в точке 0, sinx~x в точке 0.

Буквальный русский перевод слова «эквивалентность – это «равночильность».

47. Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными.

Если функция f(x) эквивалентна функции f₁(x), а функция g(x) эквивалентна g₁(x) в точке а, то lim_x→af(x)/g(x)= lim_x→a f₁(x)/g₁(x).

48. Непрерывность функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке Х₀, если точка Х₀ принадлежит области определения функции f(x), x₀єD(f), и lim_x→x0f(x)=f(x0), т.е. предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке. Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точке х0, если значение функции в точке х0 совпадает с её естественным значением в этой точке.

49. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

Функция f(x) непрерывны в точке х₀ тогда и только тогда, когда lim_∆x→0∆f=0, т.е. lim_∆x→0[f(x₀+∆x)-f(x₀)]=0.

В самом деле, если положить ∆x=х-х₀, то равенства lim_x→x0f(x)=f(x₀) можно переписать в виде равенства lim_∆x→0f(x₀+∆x) = f(x₀), которое равносильно равенству lim_∆x→0[f(x₀+∆x)-f(x₀)]=0.

50. Односторонняя непрерывность.

Если в D(f)1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то получим определение односторонней непрерывности ф-ии.

Ф-ия называется непрерывной в точке х0 справа, если правосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

Ф-ия называется непрерывной в точке х0 слева, есди левосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

Для непрерывности в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.

51. Содержание

    • Множества n,z,q,r
    • Числовые промежутки
    • Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
    • Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
    • Числовая функция
    • Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
    • Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
    • Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
    • Формула Муавра
    • Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
    • Многочлены в комплексной области. Условие
    • Основная теорема алгебры (т. Гауса)
    • Деление многочленов. Частное и остаток
    • Теорема Безу и её следствие
    • Кратность корня. Простые и кратные корни
    • Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
    • Последовательность, её геометрическое изображение.
    • Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
    • Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
    • Расходящиеся последовательности.
    • Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
    • Число е. Натуральные логарифмы.
    • Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
    • Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
    • Первый замечательный предел.
    • Односторонние пределы.
    • Предел функции при х→±∞.
    • Второй замечательный предел. Следствия.
    • Замечательный логарифмический предел
    • Замечательный показательный предел
    • Замечательный степенной предел
    • Функция, ограниченная на данном множестве.
    • Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
    • Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
    • Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
    • Бесконечно большая функция.
    • Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
    • Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
    • Непрерывность функции на промежутке.
    • Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
    • Непрерывность элементарных функций.
    • Точки разрыва функции и их квалификация.
    • Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
    • Определение производной.
    • Механический смысл производной.
    • Определение дифференцируемой (в точке) функции.
    • Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
    • Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
    • Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
    • Односторонние производные.
    • Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
    • Геометрический смысл производной
    • Бесконечная производная и вертикальная касательная.
    • Правила дифференцирования (теоремы).
    • Вычисление производных основных элементарных функций
    • Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
    • Неявная функция и её дифференцирование.
    • Приближенное вычисление приращения функции.
    • Производные высших порядков.
    • Механический смысл 2 производной.
    • Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
    • Производная вектор-функции.