Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.

Функция f(x)называется бесконечно малой в точке а, если lim_x→af(x)=0.

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма бесконечно малых в точке функций является бесконечно малой в этой точке функцией.

2. Произведение бесконечно малой в точке а функции на функцию, локально ограниченную в этой точке, есть бесконечно малая в точке а функция.

Док-во: 1. Пусть функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми в точке а, т.е. lim_x→af(x)=0 и lim_x→ag(x)=0. Тогда для данного ε>0 найдутся δ₁>0, δ₂>0, такие что |f(x)|<ε/2, если 0<|x-a|< δ₁ , и |g(x)|<ε/2, если 0<|x-a|< δ₂ . Но отсюда из неравенства треугольника для абсолютной величины следует, что |f(x)+g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| < ε/2+ ε/2 = ε, если 0<|x-a|<δ, где δ=min{δ₁, δ₂}.

2. Пусть ф-ция f(x) является бесконечно малой в точке а, а ф-ция g(x) является ограниченной в некоторой окрестности Oσ(a), т.е. все значения g(x) в этой окрестности ограничены по абсолютной величине, например М, |g(x)| ≤ M, xє Oσ(a). Для данного є>0 найдём δ>0, такое, что |f(x)|<ε/М, если 0<|x-a|<δ. Можно считать что δ≤σ. Тогда |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)|<ε/М*M = ε, если 0<|x-a|<δ.

41. Содержание

    • Множества n,z,q,r
    • Числовые промежутки
    • Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
    • Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
    • Числовая функция
    • Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
    • Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
    • Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
    • Формула Муавра
    • Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
    • Многочлены в комплексной области. Условие
    • Основная теорема алгебры (т. Гауса)
    • Деление многочленов. Частное и остаток
    • Теорема Безу и её следствие
    • Кратность корня. Простые и кратные корни
    • Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
    • Последовательность, её геометрическое изображение.
    • Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
    • Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
    • Расходящиеся последовательности.
    • Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
    • Число е. Натуральные логарифмы.
    • Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
    • Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
    • Первый замечательный предел.
    • Односторонние пределы.
    • Предел функции при х→±∞.
    • Второй замечательный предел. Следствия.
    • Замечательный логарифмический предел
    • Замечательный показательный предел
    • Замечательный степенной предел
    • Функция, ограниченная на данном множестве.
    • Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
    • Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
    • Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
    • Бесконечно большая функция.
    • Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
    • Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
    • Непрерывность функции на промежутке.
    • Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
    • Непрерывность элементарных функций.
    • Точки разрыва функции и их квалификация.
    • Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
    • Определение производной.
    • Механический смысл производной.
    • Определение дифференцируемой (в точке) функции.
    • Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
    • Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
    • Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
    • Односторонние производные.
    • Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
    • Геометрический смысл производной
    • Бесконечная производная и вертикальная касательная.
    • Правила дифференцирования (теоремы).
    • Вычисление производных основных элементарных функций
    • Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
    • Неявная функция и её дифференцирование.
    • Приближенное вычисление приращения функции.
    • Производные высших порядков.
    • Механический смысл 2 производной.
    • Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
    • Производная вектор-функции.