Вычисление производных основных элементарных функций

1. (x^a)’=ax^a-1

Обозначим y=x^a, затем прологарифмируем это равенство: lny=alnx, и продифференцируем полученное соотношение по х, рассматривая lny как сложную функцию от х:1\у*y’ = a*1\x. Отсюда получаем y’=ay*1\x = ax^a*1\x, т.е. (x^a)’=ax^a-1

2. (a^x)’=a^xlna

Обозначим y=a^x, затем прологарифмируем это равенство: lny=xlna, и продифференцируем полученное соотношение по х, рассматривая ln y как сложную функцию от х: 1/у*у’ = ln a. Отсюда получаем y’=ylna=a^xln a, т.е. (а^х)’=a^xln a.

3. (ln_ax)’=1\xln a

(ln_ax)’=1\xlna Получается из равенства ln_ax=lnx\lna

4. (cosx)’=-sinx

Дифференцируем равенство cosx=sin(П\2-П): (cosx)’=cos(П\2-х)(-1)=-sinx.

5. (tgx)’=1\cos²x

Дифференцируем частное tgx=sinx\cosx: (tgx)’=(sinx\cosx)’=(sinx)’cosx-sinx(cosx)’\cos²x = cos²x+sin²x\cos²x = 1\cos²x.

6. (ctgx)’=-1\sin²x

Дифференцируем равенство ctgx=tg(П/2-х): (ctgx)’=1\cos²(П\2-х)*(-1)=-1/sin²x.

7. (arcsinx)’ =1\√1-x²

По правилу дифференцирования обратной функции, (arcsinx)’=1\sin’(arcsinx)=1\cos(arcsinx)=1\√1-sin²(arcsinx)=1\√1-x².

8. (arccosx)’=-1\√1-x²

Сразу следует из arccosx=П\2-arcsinx.

9. (arctgx)’ = 1\1+x²

По правилу дифференцирования обратной функции, (arctgx)’=1\1\cos²(arctgx) = [(т.к.)1+tg²x=1\cos²x]=1\1+tg²(arctgx)=1\1+x².

10. (arcctgx)’=-1\1+x²

Сразу следует из arcctgx=П\2 – arcctgx.

68. Таблица производных основных элементарных функций.

Const’=0 (tgx)’=1\cos²x

(x^a)’=ax^a-1 (ctgx)’=-1\sin²x

(a^x)’=a^xlna (arcsinx)’ =1\√1-x²

(e^x)’=e^x (arccosx)’=-1\√1-x²

(lnx)’=1\x (arctgx)’ = 1\1+x²

(ln_ax)’=1\xln a (arcctgx)’=-1\1+x²

(sinx)’=cosx

(cosx)’=-sinx

69. Содержание

    • Множества n,z,q,r
    • Числовые промежутки
    • Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
    • Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
    • Числовая функция
    • Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
    • Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
    • Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
    • Формула Муавра
    • Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
    • Многочлены в комплексной области. Условие
    • Основная теорема алгебры (т. Гауса)
    • Деление многочленов. Частное и остаток
    • Теорема Безу и её следствие
    • Кратность корня. Простые и кратные корни
    • Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
    • Последовательность, её геометрическое изображение.
    • Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
    • Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
    • Расходящиеся последовательности.
    • Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
    • Число е. Натуральные логарифмы.
    • Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
    • Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
    • Первый замечательный предел.
    • Односторонние пределы.
    • Предел функции при х→±∞.
    • Второй замечательный предел. Следствия.
    • Замечательный логарифмический предел
    • Замечательный показательный предел
    • Замечательный степенной предел
    • Функция, ограниченная на данном множестве.
    • Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
    • Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
    • Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
    • Бесконечно большая функция.
    • Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
    • Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
    • Непрерывность функции на промежутке.
    • Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
    • Непрерывность элементарных функций.
    • Точки разрыва функции и их квалификация.
    • Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
    • Определение производной.
    • Механический смысл производной.
    • Определение дифференцируемой (в точке) функции.
    • Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
    • Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
    • Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
    • Односторонние производные.
    • Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
    • Геометрический смысл производной
    • Бесконечная производная и вертикальная касательная.
    • Правила дифференцирования (теоремы).
    • Вычисление производных основных элементарных функций
    • Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
    • Неявная функция и её дифференцирование.
    • Приближенное вычисление приращения функции.
    • Производные высших порядков.
    • Механический смысл 2 производной.
    • Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
    • Производная вектор-функции.