Предварительные замечания

Над множествами можно производить действия, которые во многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре. Если а и b некоторые числа, то законы элементарной алгебры можно записать как:

1. a+b = b+a; ab=ba - коммутативный (переместительный) закон;

2. - ассоциативный (сочетательный) закон;

3. (a+b)c=ac+bc - дистрибутивный (распределительный) закон.

Заметим, что в ассоциативном и коммутативном законах можно заменить действие сложения умножением, а действие умножения – сложением. При этом получим другой закон, который будет справедлив как и первый. Однако в дистрибутивном законе подобной симметрии нет. Если в этом законе заменить сложение умножением, а умножение сложением, то придем к абсурду

.

Всегда ли это так? Оказывается существует алгебра, а именно алгебра множеств, в которой все три закона симметричны относительно действий сложения и умножения.