1.13.4 Теорема г. Кантора

Множество всех действительных чисел интервала несчетно

Доказательство Любое число рассматриваемого интервала представляет собой конечную или бесконечную десятичную дробь вида 0.а₁а₂а₃ … и может быть представлено точкой отрезка вещественной оси. Т.е. теорема утверждает, что множество точек отрезка (0,1] несчетно.

Предположим, что последовательность 0.а₁а₂а₃… представляет собой бесконечный перечень действительных чисел, принадлежащих этому интервалу. Вопрос состоит в том, может или не может подобный перечень содержать все числа этого интервала, т.е. нельзя ли найти число, которое принадлежит этому интервалу, но не входит в указанный перечень чисел. Для того , чтобы найти такое число, запишем все входящие в перечень десятичные дроби одну под другой. Образуем диагональную дробь, указанную стрелками, и заменим в ней каждую из последовательных цифр на отличную от нее цифру так, чтобы при этом не получилась конечная дробь.

. ……….

. ……….

. ……….

. ……….

Полученная дробь . … представляет собой действительное число, принадлежащее нашему интервалу, но не входящее в рассматриваемый перечень. Действительно, эта дробь отличается от первой из данных дробей своей первой цифрой после запятой, от второй - своей второй цифрой после запятой, от третьей - третьей цифрой после запятой и т. д. Теорема доказана.

Рассматриваемый интервал (0,1] может быть приведен во взаимно однозначное соответствие с любым другим интервалом (а,b].

Такое взаимно однозначное соответствие можно уста-новить с помощью цен-тральной проекции.