Свойства отношений

Отношение R называется (RAA=A²):

• Рефлексивным, если для любого аА имеет место аRа;

• Антирефлексивным, если ни для какого аА не выполняется аRа;

• Симметричным, если для пары (а, b)  А² из аRb следует bRа (иначе говоря, для любой пары R выполняется либо в обе стороны, либо не выполняется вообще);

• Антисимметричным, если из и следует, что ;

• Транзитивным, если для любых a, b, c из aRb и bRc следует aRc.

Пример 1. Отношение “” и “иметь общий делитель” рефлексивны.

Пример 2. Отношение “<” антирефлексивно.

Пример 3. Отношение “быть симметричным относительно оси Х” не

является ни рефлексивным, ни антирефлексивным: точка плоскости симметрична сама по себе, если она лежит на оси Х, и не симметрична сама себе в противном случае.

Пример 4. Отношение “быть симметричным относительно оси Х” является симметричным: если первая точка симметрична второй, то и вторая симметрична первой.

Пример 5. Отношение “” антисимметрично: действительно, если аb и ba, то а=b.

Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R=R^-1. Это утверждение непосредственно следует из определения симметричного отношения.

Пример 6. Отношение равенства, неравенства, “жить в одном городе” транзитивно. Отношение “пересекаться”, т.е. иметь непустое пересечение, заданное на системе множеств, нетранзитивно. Например, {1, 2} пересекается с {2, 3}, а {2, 3} пересекается с {3, 4}, однако {1, 2} и {3, 4} не пересекаются.