1.10.4 Основные свойства отображений

Теорема. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов

1.45

Доказательство.

Пусть . Это значит, что f(x)АВ, т.е. (x)А или (x)В. Но тогда х принадлежит по крайней мере одному из множеств или , т.е. .

Обратно: Если , то х принадлежит по крайней мере хотя бы одному из множеств А или В, следовательно, f(x)АВ, но тогда .

Теорема. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов.

1.46

Доказательство.

Если , то , т.е. и . Следовательно, и , т.е. .

Обратно, если , т.е. и , то и . Иначе говоря, . Следовательно

Теорема. Образ суммы двух множеств равен сумме их образов.

1.47

Доказательство.

Если , то это означает, что у=f(x), где х принадлежит, по крайней мере, одному из множеств А и В. Следовательно, у=f(x) .

Обратно, если у , то y=f(x), где х принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В, т.е. , и, следовательно, y=f(x) .