Практичне заняття 5. Послідовність незалежних випробувань

1. Локальна теорема Муавра-Лапласа. Функція Гаусса. Її властивості.

2. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Функція Лапласа. Її властивості.

Задача. На кожні 40 відштампованих виробів у середньому припадає 4 дефектних. Із усієї продукції навмання узято 400 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них 350 виробів будуть без дефектів.

Розв’язання. ПодіяА– «узято виріб без дефекту». За умовоюР(А) =р= 0,9. Проведеноn= 400 незалежних випробувань. Розв’яжемо задачу за формулою локальної теореми Лапласа:

Підставляючи дані за умовою задачі, дістаємо:

За таблицями знаходимо беручи до уваги, що– парна функція.

Отже,

Задача. Зерна пшениці проростають з імовірністю 0,95. Знайти ймовірність того, що із 2000 посіяних зерен зійде від 1880 до 1920.

Розв’язання. ПодіяА– «зерно пшениці зійшло». Її імовірністьр= 0,95, кількість незалежних випробуваньn= 2000. Застосуємо формулу інтегральної теореми Лапласа:

де – функція Лапласа, а далі виконаємо обчислення:

Значення функції Лапласа беруться з відповідної таблиці.

Задача. Верстат-автомат виготовляє стандартну деталь з імовірністю 0,9. Із продукції беруть партію деталей. Скільки деталей має містити партія, щоб з імовірністю 0,9973 можна було стверджувати: у партії відхилення відносної частоти появи нестандартної деталі від імовірності її виготовлення не перевищуватиме 0,03? Визначити можливу кількість нестандартних деталей у партії за даних умов.

Розв’язання. Подія А – «виготовлено нестандартну деталь». Маємо схему з n незалежними випробуваннями, в якійСкористаємося формулою:

За таблицями знаходимо

Визначимо кількість нестандартних деталей у партії за даних умов, розв’язавши нерівність:

Отже, у партії із 900 деталей буде від 63 до 117 нестандартних деталей.

Задача. Маємо три партії деталей. Перша складається з 9 стандартних і 3 нестандартних; друга – із 12 стандартних і 3 нестандартних; третя – із 18 стандартних і 9 нестандартних деталей. Із кожної партії навмання беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що в партії буде 0, 1, 2, 3 стандартні деталі.

Розв’язання.ПодіяА– «поява стандартної деталі в кожному випробуванні». Позначимо черезімовірності узяття стандартної деталі ізі-ї партії. Для обчислення ймовірностей складемо твірну функцію:

Отже,