1.2 Теорема Эйлера

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера. Прежде чем сформулировать эту теорему, исследуем известные нам многогранники.

В - число вершин

Р - число ребер

Г - число граней

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В-Р+Г=2. Оказывается, что равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2.

Доказательство: Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на более мелкие многоугольники.

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать и даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер, граней и при этом не изменится.

Докажем, что для получения разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенства

В-Р+Гґ=1 (*)

Где В - общее число вершин, Р - общее число ребер и Гґ - число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Гґ= Г-1, где Г - число граней данного многогранника.

Докажем, что равенства (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 1.3а).

Рис.1.3.

Действительно, после проведения диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребро и количество многоугольников увеличивается на единицу. Следовательно, имеем В - (Р+1) + (Гґ+1) = В-Р+ Гґ. Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие многоугольники на треугольники (рис.3 б), и для полученного разбиения покажем выполнимость равенства (*). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае - АВ и ВС;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае - MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Гґ - многоугольника

(В-1) - (Р-2) + (Гґ-1)= В-Р+ Гґ

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В=3, Р=3, Гґ=1 и , следовательно В-Р+ Гґ=1. Значит, равенство (*) имеет место для исходного разбиения откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство(*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство:

В-Р+ Г=2

Для любого многогранника верны неравенства:

Другие факты:

ь Всякий многогранник имеет хотя бы одну вершину, из которой исходит не более 5 ребер, а также грань, в которой не более 5 ребер.

ь В любом многограннике есть хотя бы одна треугольная грань или хотя бы один трехгранный угол.

ь Не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер. Число 6 и любое целое число n8 могут быть количеством ребер выпуклого многогранника.

ь Для всякого выпуклого многогранника имеют место неравенства:

ь У любого многогранника есть по крайней мере две грани с одинаковым количеством сторон.

ь Во всяком выпуклом многограннике сумма плоских углов всех граней вдвое больше суммы углов выпуклого многоугольника, имеющего то же число вершин.

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по одной внутренней точке и соединить ребрами те из выбранных точек, которые лежат на смежных гранях, то получится новый многогранник, называемый сопряженным с данным. Количества вершин, ребер и граней данного и сопряженного многогранников связаны соотношениями В*=Г, Г*=В, Р*=Р.

Задача 1. Проверить теорему Эйлера для выпуклого многогранника с вершинами в серединах ребер куба.

Решение. Количество вершин нашего многогранника равно количеству ребер куба, то есть В=12.

Далее, многогранник имеет 8 треугольных граней (столько, сколько вершин у куба) и 6 четырехугольных граней (на каждой грани куба одна грань нашего многогранника). Следовательно, Г=8+6=14. Наконец, число ребер равно: Р=1/2 х (8х3+6х4)=24.

Имеем: 12+14=24+2.

Задача 2. Привести пример какого-нибудь многогранника, у которого 9 вершин и 7 граней.

Решение. Возьмем какой-нибудь многогранник с близкими значениями чисел В, Р, Г. Например, куб - у него В=8, Г=6.

Заметим, что если срезать куб так, как показано на рисунке, то получится многогранник с требуемым количеством вершин, ребер и граней.