2.5 Полуправильные многогранники

В предыдущем разделе я рассмотрела правильные многогранники, то есть такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, что гранями многогранника могут быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными.

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники и все многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма (рис 2.10). имеет своими гранями два правильных пятиугольника - основания призмы и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

Рис. 2.10. Правильная призма

К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединены с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется ещё 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед, - это тела Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 2.11 (1)) . Из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 2.11 (2)) и усеченный икосаэдр (рис. 2.11 (3)). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 2.11 (4)) и усеченный додекаэдр (рис. 2.11 (5)) .

Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате чего получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 2.11 (6)). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название - кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 2.11 (7)). У него двадцать граней - правильные треугольники и двенадцать граней - правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усеченный кубооктаэдр (рис. 2.11 (8)) и усеченный икосододекаэдр (рис. 2.11 (9)).

Было рассмотрено 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся - многогранники более сложного типа.

Поверхность ромбокубооктаэдр состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлена еще 12 квадратов (рис. 2.11 (10)).

Поверхность ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов (рис. 2.11 (11)). На рисунках 12, 13 представлены соответственно так называемые плосконосый куб и плосконосый додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит их двух или трех типов граней: квадраты, треугольники и пятиугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.