1.1 Понятие многогранника

«ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ, В ЧАСТНОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ, - ОДНА ИЗ САМЫХ УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ГЛАВ ГЕОМЕТРИИ», - такова мнение Л.А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики.

Понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники выделяются своими интересными свойствами, красивыми формами. Теория многогранников имеет богатую и древнюю историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония. В то же время это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены советскими математиками Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании.

Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.

Понятие выпуклости - одно из важнейших понятий математики. Оно появилось относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. немецкими учеными Г. Брунном, Г. Минковским и развиты в XX столетии советскими учеными Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Рис 1.1. Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников

Многогранники обладают следующими свойствами:

1. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

2. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани.

4. Выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой всех своих вершин, то есть наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти вершины.

Докажем одно из них.

Доказательство: Пусть F - какая-нибудь грань многогранника М; А, В - точки, принадлежащие грани F (рис.1.2). Из условия выпуклости многогранника М следует, что отрезок АВ целиком содержится в плоскости многоугольника F , он будет целиком содержатся и в этом многоугольнике, то есть F - выпуклый многоугольник.

Рис. 1.2.