2.1.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь S_полн. полной поверхности выражается через площадь S_бок боковой поверхности и S_осн основания призмы формулой:

S_полн. =S_бок +2S_осн.

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, S_бок= Ph.

Доказательство:

Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h, вынося множитель h за скобки, мы получаем в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр P. Итак, S_бок= Ph.

Теорема доказана.

2.2 Пирамида

Многогранник, составленный из n - угольника А₁А₂…А_n и n треугольников, называется пирамидой (рис. 2.2). Многоугольник А₁А₂…А_n называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА_1, РА_2,…РА_n - ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А₁А₂…А_n и вершиной Р обозначают так: РА₁А₂…А_{n -} и называют n - угольной пирамидой. На рисунке показаны четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида - это тетраэдр.

Рис. 2.2. Пирамида

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды.

Свойства поперечных сечений пирамиды:

1. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:

ь боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;

ь в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;

ь площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их расстояний от вершины пирамиды: S₁:S₂=X₁²:X₂²

2. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.