2.3 Параллелепипед

Рис. 2.4.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы (рис.2.4). Параллелепипед, боковые ребра которого

перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым. В противном случае - параллелепипед называется наклонным.

Кубом называют прямоугольный параллелепипед, все двенадцать ребер которого равны. Все шесть граней куба - равные квадраты.

На рисунке (а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке (б) - прямой параллелепипед. Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным. Все его грани - прямоугольники, и длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда.

Некоторые свойства параллелепипеда:

ь У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

Рис. 2.5. Параллелепипед.

Доказательство

Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А2А1 и A3A4A4A3 (рис. 2.5). Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой А4А3, а прямая А1А1 параллельна прямой А4А4. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что отрезки А1А4, А1А4, A2A3 и A2A3 - параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А1А2А2А1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра А1А4 с гранью А3А4А4А3. Значит, эти грани равны. Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

ь Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Рис.2.6.

Доказательство

Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А₁А₃ и A₄A₂ (рис. 2.6). Так как четырехугольники А₁А₂А₃А₄ и A₂A₂A₃A₃ - параллелограммы с общей стороной A₂A₃, то их стороны А₁А₄ и A₂A₃ параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым A₁A₂ и A₄A₃. Следовательно, четырехугольник A₄A₁A₂A₃ - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда A₁A₃ и A₄A₂ являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали A1A3 и A2A4, а также диагонали A1A3 и A3A1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Рис. 2.7.

ь Сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер (рис. 2.7), то есть: d₁² + d₂² + d₃² + d₄² = 4b² + 4c²

ь Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d² = a² + b² + c²

Доказательство

Так как AA1 перпендикулярно к основанию ABCD, то угол AA1C прямой (рис.2.8). Из прямоугольного треугольника AA1C по теореме Пифагора получаем:

Рис. 2.8.

A₁C² = AC² + AA₁²

но AC - это диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC²=AB²+AD² . Кроме того, AA1=CC1, следовательно,

A₁C²=AB²+AD²+CC₁².

Теорема доказана.

Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:

d₁² = a² + b² + c² + 2abcos Ь

d₂²=a²+b²+c²-2abcosЬ

ь В параллелепипед можно вписать тетраэдр.

Объем такого тетраэдра равен 1/3 части объема параллелепипеда.

V = 1/6 d₁d₂ p(d₁,d₂) sin (d₁,d₂)