1. Алгоритм

Ляпунов предложил простой и очень эффективный метод построения периодических решений для достаточно малых значений постоянной с решения системы (1.8). Алгоритм Ляпунова использует аналитичность искомых решений по параметру с и дает правило построения решений в форме рядов специального вида, разложенных по степеням этого параметра.

Таким образом, на основании теоремы в разделе 1, решение системы уравнений (1.8) можно искать в виде:

,.

но это невозможно, так как период решения Т неизвестен. Тогда Ляпунов предложил видоизменить масштаб времени так, чтобы решения полученной системы имели фиксированный период, не зависящий от с (например, равный ).

Обратим внимание на формулу (1.24). Она показывает, что если ввести замену

(3.1)

то период колебаний по переменной будет равен . Сделав в системе уравнений (1.8) замену (3.1), получим

 (3.2)

Так как правые части системы (3.2) мы умножили на аналитические функции параметра , то решение этой системы, так же как и системы (1.8), аналитические по и для любого достаточно малого периодические по . Но период по независимой переменной теперь уже фиксирован, он равен .

Периодические решения системы (3.2) будем искать в виде рядов

,. (3.3)

Подставим ряды (3.3) в систему уравнений (3.2) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях параметра . Функции и будут удовлетворять следующей системе уравнений:

, . (3.4)

В самом деле, функции и , будучи аналитическими функциями своих переменных, таковы, что их разложение начинается с членов второго порядка малости. Следовательно, при подстановке в эти функции рядов (3.3) функции и не будут содержать членов, линейных относительно . Начальные значения для системы (3.2) определены равенствами (1.13)

: ,.

Следовательно, функции и будут соответствовать следующим начальным условиям:

: ,,

, , где i =2,3… (3.5)

Функции и будут удовлетворять системе уравнений

(3.6)

где и - квадратичные члены разложения функций и по степеням параметра . Так как и - аналитические функции переменных и , причем их разложение начинается с квадратичных членов, то и являются квадратичными формами переменных и .

Точно так же каждая пара функций и , входящая в разложение (3.3), определяется системой уравнений

(3.7)

причем функции и будут содержать величины и только тех номеров , которые меньше чем .

Кроме того, функции и будут содержать величины , причем Заметим, что величины входят в правые части (3.7) только уравнений относительно и , для которых :

 (3.8)

и т. д.

Из уравнений (1.13) следует, что функции и при удовлетворяют начальным условиям

,. (3.9)

Вернемся снова к уравнениям (3.2). Хотя числа нам неизвестны заранее, но они на основании теоремы Ляпунова определяются однозначно для данной системы и не зависят от параметра , ни от начальных условий.

Далее члены рядов (3.3) также определяются однозначно, причём и - периодические функции переменного периода . В самом деле, и - периодические функции, следовательно,

(3.10)

Так как функции и не зависят от параметра , а равенства (3.10) справедливы для любого малого , то

, .

Таким образом, мы можем утверждать заранее, что функции и , которые определяются как решение задачи Коши (3.9) для системы уравнений (3.7), будут периодическими функциями времени периода . С другой стороны, уравнения (3.7) относятся к виду

, , (2.11)

где ,

являются периодическими функциями времени, поскольку они определяются периодическими функциями …, , , …, . Система вида (2.11) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда функции удовлетворяют условиям

На этом основании можно сформулировать следующее вспомогательное утверждение:

функции , и числа всегда удовлетворяют условиям (3.11)