1.1. Дифференциальные уравнения c частными производными первого порядка

Нам дана точка n-мерного евклидова пространства x = (x₁, ..., x_n). Воспользуемся видом уравнения

(1.1)

где u(x) = u(x₁, ... , x_n) – неизвестная функция. Рассматривается случай, когда функция F (x, u, p) дифференцируема по ряду переменных p₁, ..., p_n, т.е.

(1.2)

Дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка - это уравнение (1.1), в случае, когда квадрат градиента функции F на некотором открытом множестве пространства переменных x₁, ..., x_n, u, p₁, ..., p_n будет не равен нулю, т.е.

(1.3)

где ℝ²ⁿ⁺¹ – это (2n+1)-мерное арифметическое евклидово пространство, т.е. пространство с фиксированным в нём скалярным произведением или множество упорядоченных наборов (x₁, ..., x_2n+1) из (2n+1) действительных чисел x с расстоянием

(1.4)

Классическое решение уравнения (1.1) – это непрерывно дифференцируемая функция u(x), удовлетворяющая уравнению (1.1).