Заключение

Данная работа представляет собой формулировку, описание и исследование краевой задачи для квазилинейного уравнения первого порядка с частными производными. В математике любая теорема, каждый закон, всякая аксиома имеют своё значение в этой науке. Мы не можем пренебрегать формулами, гипотезами, леммами и прочими объектами этой науки, т.к. существует серьёзная взаимосвязь между элементами в определениях, от которых нельзя избавляться в силу своей значимости для определённого математического раздела. Как уже было показано в ведении, многие известные математики применяли законы из этой области в смежных наук и добивались серьёзных открытий, благодаря чему изменяли существующий уклад не только в научных дисциплинах, но и в бытовом сознании окружающих. Исследования в области дифференциальных уравнений, и в частности, в среде квазилинейных уравнений, также, как уже было ранее сказано, влияли не только на математический аппарат, но и на другие дисциплины.

Уравнение Хопфа, упомянутое ранее в пункте 1.8, характеризуется тем, что описывает эволюцию поля скоростей и невзаимодействующих частиц. Для выражения данной функции нужно рассмотреть одномерную среду, состоящую из частиц, движущихся по инерции. это скорость частицы, находящейся в момент времени в точке . Если т.е. x – это траектория движения некоторой фиксированной частицы, то её скорость ускорение Из этого следует, что

На выходе получаем уравнение

Среди дифференциальных уравнений существуют ещё несколько примеров, связанных с движением:

1. Уравнение просачивания воды через песок. Предполагаем, что вода двигается только под действием силы тяжести, т.е. движение вертикальное и от горизонтальных координат зависимости нет. Источники и стоки отсутствуют, а скорость просачивания - это функция плотности . Таким образом,

В рассматриваемом одномерном случае уравнение переписывается в виде или , где .

При окончательно имеем

2. Уравнение дорожного движения получается из одномерного по x уравнения . В задачах дорожного движения используют экспериментально найденную зависимость скорости движения автомобилей от плотности машин на автостраде в данной точке. Типичная модель дорожного движения задаётся формулой .

Рассмотренные выше уравнения демонстрируют свою значимость в области механики. Также и выведенная во второй главе краевая задача для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка имеет своё значение в сфере физики, т.к. обладает условиями, которые напрямую связаны с расчётами скоростей, плотности и других величин.