2.1. Постановка задачи

Одна из задач исследования краевой задачи для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка связана с изучением асимптотики при большом значении времени. Задача асимптотики сводится к задаче поведения функции в особых точках при стремлении функции или аргумента к бесконечности.

Мы имеем дело с квазилинейным уравнением с частными производными первого порядка вида (1.12) в области t > 0, x > 0. Предполагается, что функция потока f(u) является строго выпуклой вниз, т.е. данная функция непрерывна, а по неравенству Йенсена для любых двух значений аргумента x, u и для любого числа t ≤ 1 выполняется формула

Рис. 2.1. График строго выпуклой функции

Начальная функция u₀(x) является ограниченной, измеримой и имеет предельное среднее значение равномерное относительно сдвигов. Т.е. для любого :

(2.1)

Граничная функция u(t, 0) имеет вид , где и монотонно возрастает. стремится к 0 при t, который стремится к . Поскольку граничная функция зависит от монотонной функции, соответственно, u(t, 0) не является постоянной. Это выглядит так:

(2.2)

Основным инструментом исследования является краевое условие для решения краевой задачи, полученное в работе [6]:

(2.3)

Поскольку мы имеем дело со строго выпуклой функцией, у нас есть возможность переписать краевое условие таким образом:

(2.3')

Также мы можем воспользоваться сведением исследования краевой задачи к исследованию соответствующей задачи Коши. Результаты об асимптотическом поведении при больших значениях времени решения задачи Коши были получены в работах [7], [9], [10].