1.3. Линейное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка

Пусть – гладкое векторное поле в области . Поле на открытом множестве Ω будет называться гладким векторным, класса гладкости C^r, если найдётся регулярная, класса гладкости C^r⁺¹, система координат , такая, что компоненты vⁱ поля в этой системе координат являются r раз непрерывно-дифференцируемыми функциями.

Линейное однородное уравнение с частными производными первого порядка – это уравнение вида

(1.6)

где L_v– оператор дифференцирования по направлению векторного поля v(x). Геометрически уравнение (1.6) означает, что градиент ∇u искомой функции u ортогонален векторному полю v(x) в каждой точке области Ω.

Чтобы гладкая функция u = u(x) являлась решением уравнения (1.6), необходимо и достаточно, чтобы u была постоянна вдоль фазовых кривых поля , т.е. являлась первым интегралом характеристической системы однородного линейного уравнения (1.6)

(1.7)

Решения данной системы называются характеристиками, само векторное поле v(x) в n-мерном пространстве x-ов – это характеристическое векторное поле линейного уравнения.

Линейное неоднородное уравнение с частными производными первого порядка – это уравнение вида

(1.8) где f(x) – непрерывная функция.

Характеристическая система неоднородного линейного уравнения

(1.9)

Для решения задачи Коши (1.6), (1.5) для линейного однородного уравнения достаточно продолжить функцию u(x) с поверхности γ константой вдоль характеристик x(t). В случае задачи (1.8), (1.5) для неоднородного уравнения начальные условия надо продолжать в соответствии с законом

Переходим к определению квазилинейных уравнений.

Содержание