logo

1.5. Обобщённые решения квазилинейного уравнения. Условие Ранкина-Гюгонио

У классических решений квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка с ростом времени могут сформироваться особенности. Поскольку свойства данных уравнений не позволяют нам предполагать, что разрывные начальные функции определённо исчезнут при t>0, соответственно возникает необходимость расширить понятие классических решений, рассматривая обобщённые решения в классах, включающих разрывные функции.

Обобщённые решения – это функции, удовлетворяющие интегральному тождеству, которое на классических решениях эквивалентно исходному дифференциальному уравнению.

Рассматривается гладкая в области функция u(t, x), связанная с векторным полем , заданным в данной области. Функция u(t, x) является классическим решением уравнения

. (1.12)

Этот факт в точности означает, что , что в свою очередь равносильно тому, что поток векторного поля равен 0 через границу любой области :

(1.13)

В этом интеграле – единичный вектор нормали к ∂G, ν) – скалярное произведение векторов и ν. Данный интеграл является законом сохранения, выполняющимся для любого кусочно-гладкого обобщенного решения уравнения (1.12) в смысле интегрального тождества

(1.14)

На любой линии разрыва обобщённое решение удовлетворяет условию Ранкина-Гюгонио. Данное условие необходимое и достаточное для того, чтобы кусочно-гладкая функция u(t, x), которая удовлетворяет уравнению (1.12) в окрестности каждой точки гладкости, являлась обобщённым решением в смысле интегрального тождества (1.14).

Условие Ранкина-Гюгонио будет выводиться следующим образом. Пусть u(t, x) – кусочно-гладкое решение уравнения (1.12) в области в смысле интегрального тождества (1.14). Пусть Ω делится линией Γ на 2 части, как показано на рисунке 1, а именно, на и , в каждой из которых функция u(t, x) – гладкая, , и существуют односторонние пределы и функции u(t, x) при подходе к Γ. Соответственно, на кривой Г в каждой точке определены разрывы первого рода, представленные как

.

Рис. 1.1. Разрывы первого рода

Если кривая Γ в области Ω является графиком функции x = x(t), тогда кусочно-гладкое обобщённое решение u(x, t) уравнения (1.12) удовлетворяет на линии разрыва Γ условию Ранкина-Гюгонио:

(1.15)

где [u] – скачок функции u(x, t) на линии разрыва Γ, [f (u)] – скачок f(u).

При , где cos(v,x) и cos(v,t) – координаты единичной нормали v к кривой Γ, уравнение (1.15) эквивалентно равенству

(1.16)

Ударные волны – это разрывные решения уравнения (1.12). Условие Ранкина-Гюгонио связывает скорость распространения ударных волн с предельными значениями и решения u(t, x) через функцию состояния f(u).

Теорема 2. Пусть у функции u(t, x), определённой в области Ω, есть несколько компонент гладкости Ω1, Ω2, ..., Ωn и, соответственно, несколько линий разрыва первого рода Γ1, Γ2, ..., Γn, при этом . Функция u(t, x) – обобщённое решение уравнения (1.12) в области Ω в смысле интегрального тождества (1.14) тогда и только тогда, когда u(t, x) является классическим решением этого уравнения в окрестности каждой точки гладкости и удовлетворяет условию Ранкина-Гюгонио на каждой линии разрыва Γi, i = 1, ..., k, кроме конечного числа точек пересечений Γi.

Рис. 1.2. Случай полосы