2.2.2. Стабилизация к стационарному решению в случае выпуклой функции f(u).

Рассмотрим похожий пример, связанный с асимптотикой решений задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка и разобранный в работе С.Н. Кружкова и Н.С. Петросян [12].

Имеем полуплоскость . В области данной полуплоскости рассматривается задача Коши для квазилинейного уравнения (1.12) с условиями и начальным условием (2.4), .

Всюду далее предполагается, что определённая для всех значений функция дважды непрерывно дифференцируема, - ограниченная измеримая функция в .

В этом пункте исследуется асимптотическое поведение при обобщённых решений задачи (1.12) и (2.4).

Обобщённое решение задачи (1.12), (2.4) - это ограниченная, измеримая в функция , если: 1. выполняется неравенство

2. Существует такое множество что для функция определена почти всюду в и что

Обобщённое решение задачи (1.12), (2.4) в смысле этого определения единственно и существует при любой ограниченной измеримой начальной функции . Теперь перейдём к вопросу асимптотического поведения, вынесенному в заголовок.

Есть выпуклая функция Пусть Здесь стационарные обобщённые решения уравнения (1.12) являются либо константами: либо ударными волнами: при

Предположим, что есть предельные средние значения:

Теорема 2.4. Пусть Тогда при равномерно на любом отрезке.

Теорема 2.5. Пусть (или ). Тогда (или ) при равномерно на любом отрезке.

Теорема 2.6. Пусть причем (или .

Тогда (или ) при равномерно на любом отрезке.

Теорема 2.7. Пусть , и существуют интегралы , . Обозначим

при

Тогда при равномерно по x вне любой окрестности точки

Последняя теорема тесно связана с аналогичным результатом из работы [15], где устанавливается выход обобщённых решений задачи (1.12), (2.4) на решения задачи о распаде разрыва в предположении, что при

Теоремы (2.4) – (2.7) наглядно демонстрируют пример стабилизации.